КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ

КВАНТОВАЯ ЖИДКОСТЬ
Системы многих частиц. Тождественные частицы. Квантовомеханич.
ур-ние движения для системы N частиц получается соответствующим
обобщением ур-ния Шрёдингера для одной частицы. Оно содержит потенциальную
энергию, зависящую от координат всех N частиц, и включает как воздействие
на них внешнего поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая
функция также является функцией от координат всех частиц. Её можно рассматривать
как волну в ЗN-мерном пространстве; следовательно, наглядная аналогия
с распространением волн в обычном пространстве утрачивается. Но это теперь
несущественно, поскольку известен смысл волновой функции как амплитуды
вероятности .

Если квантовомеханич. системы состоят из одинаковых частиц, то в них
наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классич. механике.
В классич. механике случай одинаковых частиц тоже имеет нек-рую особенность.
Пусть, напр., столкнулись две одинаковые "классич." частицы (первая двигалась
слева, а вторая - справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны
(напр., первая - вверх, вторая - вниз). Для результата столкновения не
имеет значения, какая из частиц пошла, напр., вверх, поскольку частицы
одинаковы,- практически надо учесть обе возможности (рис. 7,я и 7,6). Однако
в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к.
можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м.
траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе
частицы проходят с нек-рой неопределённостью, с "размытыми траекториями"
(рис. 7,в).

Рис. 7.

В процессе столкновения области размытия перекрываются и невозможно
даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые
частицы становятся полностью неразличимыми - тождественными. Не имеет смысла
говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай - одна
частица пошла вверх, другая - вниз, индивидуальности у частиц нет.

Этот квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых частиц можно
сформулировать математически на языке волновых функций. Обнаружение частицы
в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой функции,
зависящей от координат обеих частиц, |(1,2)|²,
где 1 и 2 означают совокупность координат (включая и спин) соответственно
первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене
местами частиц 1 и 2 вероятности были одинаковыми, т. е.

|(1,2)|²=|(2,1)|².
(23)

Отсюда следует, что может быть два случая:

(1,2) =(2,1),
(24,а)(1,2)=-(2,1).
(24,6)

Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то
она наз. симметричной [случай (24,а)], а если меняет,- антисимметричной
[случай (24,6)]. T. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны
относительно переменных 1, 2, то свойства симметрии или антисимметрии волновой
функции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождеств, частиц должна иметь место
симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц.
Поэтому свойство симметрии или антисимметрии является характерным признаком
данного сорта частиц. Соответственно, все частицы делятся на два класса:
частицы с симметричными волновыми функциями наз. бозонами, с антисимметричными
- фермио-нами. Существует связь между значением спина частиц и симметрией
их волновых функций: частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым
- фермионами (т.н. связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала
было установлено эмпирически, а затем доказано В. Паули теоретически (оно
является одной из основных теорем релятивистской К. м.). В частности, электроны,
протоны и нейтроны являются фермионами, а фотоны, пи-мезоны, К-мезоны
- бозонами. Сложные частицы, состоящие из фермионов, являются фермионами,
если состоят из нечётного числа частиц, и бозонами, если состоят из чётного
числа частиц; этими свойствами обладают, напр., атомные ядра.

Свойства симметрии волновой функции существенно определяют статистич.
свойства системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств, частицы находятся
в одинаковых внешних условиях (напр., во внешнем поле). Состояние такой
системы можно определить, задав числа заполнения - числа частиц,
находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые
наборы квантовых чисел. Но если тождеств, частицы имеют одинаковые квантовые
числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц.
Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не
могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волновая
функция должна быть антисимметричной. Это свойство наз. принципом запрета
Паули. T. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения
О или 1. T. к. электроны являются фермионами, то принцип Паули существенно
влияет на поведение электронов в атомах, в металлах и т. д. Для бозонов
(имеющих симметричную волновую функцию) числа заполнения могут принимать
произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханич. свойств
тождеств, частиц существует два типа статистик частиц: Ферми - Дирака
статистика для фермионов и Базе-Эйнштейна статистика для бозонов.
Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный
газ в металле, примером бозе-системы - газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное
излучение), жидкий ⁴He и др.

Принцип Паули является определяющим для понимания структуры перио-дич.
системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии
может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня
(числу разных состояний с одинаковой энергией). Кратность вырождения зависит
от орбитального квантового числа и от спина электрона; она равна (21
+ 1) (2s + 1) = 2(2/ + 1). Так возникает представление об электронных
оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см.
Атом).

Обменное взаимодействие. Молекула. Молекула представляет собой систему
ядер и электронов, между к-рыми действуют электрич. (кулоновские) силы
(притяжения и отталкивания). Т.к. ядра значительно тяжелее электронов,
электроны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат.
заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике
доказывается, что такого типа система не имеет устойчивого равновесия.
Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую, как говорилось выше,
нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически
квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно
непонятным с точки зрения классич. представлений является существование
молекул из одинаковых атомов, т. е. с т. н. кова-лентной химич. связью
(напр., простейшей молекулы - Hэлектронной волновой функции так изменяет характер взаимодействия электронов,
находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода Hдвух протонов и двух электронов. Волновая функция такой системы представляет
собой произведение двух функций, одна из к-рых зависит только от координат,
а другая- только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный
спин двух электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая функция
антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов.
Следовательно, для того чтобы полная волновая функция в соответствии с
принципом Паули была антисимметричной, координатная функция должна быть
симметричной относительно перестановки координат обоих электронов. Это
означает, что координатная часть волновой функции имеет вид:

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я