КВАНТОР

КВАНТОР (от лат. quantum - сколько), логическая операция, дающая
количественную характеристику области предметов, к к-рой относится выражение,
получаемое в результате её применения. В обычном языке носителями таких
характеристик служат слова типа "все", "каждый", "некоторый", "существует",
"имеется", "любой", "всякий", "единственный", "несколько", "бесконечно
много", "конечное число", а также все количественные числительные.
В формализованных языках, составной частью к-рых является исчисление
предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным
К. двух видов: К. (в с е) о б щ н о с т и (оборот "для всех x", обозначается
через Vx, (Vx), (х), (Ax), П,,
П) и К. с у щ е с т в о в а н и я ("для некоторых x", обозначения: Ex,
(Ex), (Ex), U,,).
С помощью К можно записать четыре основных формы суждений традиционной
логики: "все А суть В" записывается в виде Vх[_А(х)=э =>В(х)],
"ни
одно А не есть В" - в виде Vx[A(X)·=> -В(х)], "некоторые
А суть
В" - в виде Eх[А(х)&В(x)], "некоторые A не суть В" -в виде Ex[A(х)&-B(X)]
(здесь
A(X)
означает, чтообладает свойством
А, 13 - знак импликации, - - отрицания,
& - конъюнкции).

Часть формулы, на к-рую распространяется действие к.-л. К., наз. областью
действия этого К. (ее можно указать с помощью скобок). Вхождение к -л.
переменной
в
формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после
к-рого стоит эта переменная наз. её связанным вхождением. Все остальные
вхождения переменных наз. свободными. Формула, содержащая свободные вхождения
переменных, зависит от них (является их функцией);
связанные же
вхождения переменных можно "переименовывать"; напр., записи Ex(x = 3y)
и 3z(z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о Eх(х
=
2у) и E(х)(х = 2t). Применение К уменьшает число свободных
переменных в логич. выражении и превращает (если К. не "фиктивный", т.
е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трёхместный
предикат в двухместный, двухместный - в одноместный, одноместный - в высказывание.
Употребление К. кодифицируется спец. "постулатами квантификации" (присоединение
к-рых к исчислению высказываний по существу и означает расширение
его до исчисления предикатов), напр., следующими "постулатами Бернайсак
аксиомами A(t) => EхА(х) и EхА(х)з >A(t) и
правилами
вывода "если доказано CA(X), то можно считать доказанным и
CVfxA(x)"
и
"если доказано А(х)>С, то можно считать доказанным и EхА(х)оС"
(здесь x не входит свободно в С).

К К. общности и существования сводятся и др. виды К., напр, вместо т.
н. К. единственности E!x ("существует единственныйтакой,
что") можно писать "обычные" К., заменяя E! хА(х) на

ExA(x)&VyVz[A(y)&A(z )=>y = z].

Аналогично, К., "ограниченный" к-л. одноместным предикатом Р(x)(Exчитается как "существует х, удовлетворяющий свойству P и такой,
что", a Vxх, удовлетворяющих свойству
P, верно, что"), легко выразить через К. общности и существования и операторы
импликации и конъюнкции:

EХи VxA(x)
= Vx[P(x) => A(x)].

Лит.: К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ.,
M., 1957, с. 72 - 80, 130 - 138; Ч ё
ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, M., 1960, с.
42 - 48. Ю. А. Гастев.
KBAHTУH, встречающееся в лит-ре на рус. яз. название юго-зап.
оконечности Ляодунского п-ова в Китае; см. Гуанъдун.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я