КВАТЕРНИОНЫ

КВАТЕРНИОНЫ (от лат. quaterni
- по четыре), система чисел, предложенная в 1843 англ, учёным У.
Гамильтоном. К. возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел
х + iy, где x н у - действительные числа, i - базисная
единица с условием i² = -1. Как известно, комплексные
числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними
соответствуют простейшим геометрич. преобразованиям плоскости (сдвигу,
вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям). Поиски числовой
системы, к-рая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3-мерного
пространства, при-

вели к установлению того, что из
точек пространства трёх и выше трёх измерений нельзя "устроить" числовую
систему, в к-рой алгебраич. операции сохраняли бы в с е свойства сложения
и умножения действительных или комплексных чисел. Однако если отказаться
от одного свойства - коммутативности (переместительности) умножения,
- сохранив все остальные свойства сложения и умножения, то из точек пространства
четырёх измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трёх,
пяти и выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел).
Числа, реализуемые в 4-мерном пространстве, и наз. кватернионами. К. представляют
собой линейную комбинацию четырёх "базисных единиц" l, i, j, k:

X = x • 1 + xi
+ xxгде xx,
xx- действительные числа. Действия над К. производятся по обычным правилам
действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться
переместительным законом умножения)
с учётом правил умножения базисных
единиц, указанных в табл. Из табл. видно, что 1 играет

роль обычной единицы и, следовательно,
в записи К. может быть опущена:

X = xx(1)

В К. (1) различают скалярную
часть xo и векторную часть

V = xтак
что

X = x

Если xкватернион V наз. вектором; он может отождествляться с обычными 3-мерными
векторами.

В сер. 19 в. К. воспринимались как
обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значит, роль,
как и комплексные числа. Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были
найдены приложения К. к электродинамике и механике. Однако векторное
исчисление в его совр. форме вытеснило К. из этих областей. Ясно, что
роль К. ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел,
имеющих многочисл. и разнообразные приложения в различных отраслях науки
и техники.

Лит. см. при ст. Гиперкомплексные
числа.