КИНЕМАТИКА

КИНЕМАТИКА (от греч. kinema,
род. падеж kinematos - движение), раздел механики, посвящённый
изучению геом. свойств движений тел без учёта их масс и действующих на
них сил. Излагаемое ниже относится к К. движений, рассматриваемых в классич.
механике (движения макроскопич. тел со скоростями, малыми по сравнению
со скоростью света). О К. движений со скоростями, близкими к скоростям
света, см. Относительности теория, а о движениях микрочастиц - Квантовая
механика.

Устанавливаемые в К. методы и зависимости
используются при кинематич. исследованиях движений, в частности при расчётах
передач движений в различных механизмах, машинах и др., а также при решении
задач динамики. В зависимости от свойств изучаемого объекта К. разделяют
на К. точки, К. твёрдого тела и К. непрерывной изменяемой среды (деформируемого
тела, жидкости, газа).

Движение любого объекта в К. изучают
по отношению к нек-рому телу (тело отсчёта); с ним связывают т. н. систему
отсчёта (оси х, у, z на рис. 1), с помощью к-рой определяют положение
движущегося объекта относительно тела отсчёта в разные моменты времени.
Выбор системы отсчёта в К. произволен и зависит от целей исследования.
Напр., при изучении движения колеса вагона по отношению к рельсу систему
отсчёта связывают с землёй, а при изучении движения того же колеса по отношению
к кузову вагона - с кузовом и т. д. Движение рассматриваемого объекта считается
заданным (известным), если известны ур-ния, наз. ур-ниями движения (или
графики, таблицы), позволяющие определить положение этого объекта
по отношению к системе отсчёта в любой момент времени.

Рис. 1.

Осн. задача К. заключается в установлении
(при помощи тех или иных матем. методов) способов задания движения
точек или тел и в определении по уравнениям их движений соответствующих
кинематич. характеристик движения таких, как траектории, скорости и ускорения
движущихся точек, угловые скороди и угловые ускорения вращающихся тел и
др. Для задания движения точки пользуются одним из 3 способов: естественным,
координатным или векторным:

а) естественный (или траекторный),
применяемый, когда известна траектория точки по отношению к выбранной системе
отсчёта. Положение точки опре-1еляется расстоянием s = Oот
выбранного на траектории начала отсчёга Oдуги траектоэии и взятым с соответствующим знаком (рис. 1), а закон
движения даётся уравгением S = f(t), выражающим зависимость s от
времени t. Напр., если задано, что s - 3t² -
1,
то в начальный момент времени to = О, sм
(точка
нахоцится слева от начала О на расстоянии 1 м), в момент
t=
1 сек, S2 м (точка справа от Oна
расстоянии 2 м) и т. д. Зависимость s от t может быть также задана
графиком движения, нa к-ром в выбранном масштабе отлокены вдоль оси t
время, а вдоль оси s - эасстояние (рис. 2), или таблицей, где
в одном столбце даотся значения f, а в другом соотвст:твующие им знаиния
s
(подобный способ применяет;я, напр., в ж.-д. расписании движе-1ия поезда).

б) Координатный, при к-ром
положеше точки относительно системы отсчёта определяется к.-н. тремя координатами,
напр. прямоугольными декартовыми x, y, z, а закон движения задаётся
3 ур-ниями х = ft(t), у = ffИсключив из этих ур-ний время t, можно найти траекторию точки.

в) Векторный, при к-ром положение
точки по отношению к системе отсчёта определяется её радиусом-вектором
г, проведённым от начала отсчёта до двикущейся точки, а закон движения
дается векторным ур-нием r = r(t). Траектория точки - годограф
вектора
r.

Осн. кинематич. характеристиками
движущейся точки являются её скорость и ускорение, значения к-рых опредешются
по ур-ниям движения через первые и вторые производные по времеш от s или
от х, у, z, или от г (см. Скоюсть, Ускорение).

Способы задания движения твёрдого
тела зависят от вида его движения, и число ур-ний движения - от числа степеней
свободы тела (см. Стегеней свободы число). простейшими являются
поступательное
движеiue и вращательное движение твёрдого тела. При поступательном
двикении все точки тела движутся одинаково, и его движение задаётся и изучается
так же, как движение одной точен. При вращательном движении вокруг неподвижной
оси г (рис. 3) тело имеет одну степень свободы; его положение определяется
углом повоюта ф, а закон движения задаётся ур-нием ф =f(t). Осн.
кинематич. характеристиками являются угловая скорость и угловое ускорение
тела.

Величины со и е изображаются
в виде векторов, направленных вдоль оси вращения. Зная со и е, можно определить
скорость и ускорение любой точки тела.

Более сложным является движение тела,
имеющего одну неподвижную точку и обладающего 3 степенями свободы (напр.,
гироскоп,
или
волчок). Положение тела относительно системы отсчёта определяется в этом
случае к.-н. 3 углами (напр., Эйлера углами: углами прецессии, нутации
и собственного вращения), а закон движения - ур-ниями, выражающими зависимость
этих углов от времени. Осн. кинематич. характеристиками являются мгновенная
угловая скорость со и мгновенное угловое ускорение е тела. Движение тела
слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих своё
направление мгновенных осей вращения ОР, проходящих через неподвижную точку
О (рис. 4).

Самым общим случаем является движение
свободного твёрдого тела, имеющего 6 степеней свободы. Положение тела определяется
3 координатами одной из его точек, наз. полюсом (в задачах динамики за
полюс принимается центр тяжести тела), и 3 углами, выбираемыми так же,
как для тела с неподвижной точкой; закон движения тела задаётся 6 ур-ниями,
выражающими зависимости названных координат и углов от времени. Движение
тела слагается из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг
этого полюса, как вокруг неподвижной точки. Таким, напр., является движение
в воздухе артиллерийского снаряда или самолёта, совершающего фигуры высшего
пилотажа, движение небесных тел и др. Осн. кинематич. характеристиками
являются скорость и ускорение поступательной части движения, равные скорости
и ускорению полюса, и угловая скорость и угловое ускорение вращения тела
вокруг полюса. Все эти характеристики (как и кинематич. характеристики
для тела с неподвижной точкой) вычисляются по ур-ниям движения;
зная эти характеристики, можно определить скорость и ускорение любой точки
тела. Частным случаем рассмотренного движения является плосконаправленное
(или плоское) движение твёрдого тела, при к-ром все его точки движутся
параллельно нек-рой плоскости. Подобное движение совершают звенья мн. механизмов
и машин.

В К. изучают также сложное движение
точек или тел, т. е. движение, рассматриваемое одновременно по отношению
к двум (и более) взаимно перемещающимся системам отсчёта. При этом
одну из систем отсчёта рассматривают как основную (её еще наз. условно
неподвижной), а перемещающуюся по отношению к ней систему отсчёта
наз. подвижной; в общем случае подвижных систем отсчёта может быть несколько.

При изучении сложного движения точки
её движение, а также скорость и ускорение по отношению к основной системе
отсчёта наз. условно абсолютными, а по отношению к подвижной системе -
относительными. Движение самой подвижной системы отсчёта и всех неизменно
связанных с ней точек пространства по отношению к основной системе наз.
переносным движением, а скорость и ускорение той точки подвижной системы
отсчёта, с к-рой в данный момент совпадает движущаяся точка, наз. переносной
скоростью и переносным ускорением. Напр., если осн. систему отсчёта связать
с берегом, а подвижную с пароходом, идущим по реке, и рассмотреть качение
шарика по палубе парохода (считая шарик точкой), то скорость и ускорение
шарика по отношению к палубе будут относительными, а по отношению к берегу
- абсолютными; скорость же и ускорение той точки палубы, к-рой в данный
момент касается шарик, будут для него переносными. Аналогичная терминология
используется и при изучении сложного движения твёрдого тела.

Осн. задачи К. сложного движения
заключаются в установлении зависимостей между кинематич. характеристиками
абс. и относит, движений точки (или тела) и характеристиками движения
подвижной системы отсчёта, т. е. переносного движения. Для точки эти зависимости
являются следующими: абс. скорость точки равна геом. сумме относительной
и переносной скоростей, т. е.

v

а абс. ускорение точки равно геом.
сумме трёх ускорений - относительного, переносного и поворотного, или кориолисова
(см. Кориолиса ускорение), т. е.

ww

Для твёрдого тела, когда все составные
(т. е. относительные и переносные) движения являются поступательными,
абс. движение также является поступательным со скоростью, равной геом.
сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются
вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как,< напр.,
у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным
вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геом. сумме угловых
скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются
и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае
будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений (см. Винтовое
движение).

В К. непрерывной среды устанавливаются
способы задания движения этой среды, рассматривается общая теория деформаций
и определяются т. н. ур-ния неразрывности, отражающие условия непрерывности
среды.

Лит. см. при ст. Механика.
С. М. Торг.