КОМПАКТНОСТЬ

КОМПАКТНОСТЬ (матем.),
важное свойство множеств; множество наз. компактным, если каждая бесконечная
последовательность его элементов (точек) имеет хотя бы одну предельную
точку. От К. по отношению к объемлющему пространству отличают К. в
себе: множество (лежащее в определённом топологическом пространстве или
являющееся само топологическим пространством) компактно в себе,
если каждая бесконечная последовательность его элементов имеет хотя бы
одну предельную точку, принадлежащую тому же множеству.

В матем. анализе большое значение
имеет принцип Вейерштрасса, утверждающий, что каждое ограниченное множество
действительных чисел - компактно. Компактные множества функций играют фундаментальную
роль в теории функций и функциональном анализе. Для того чтобы множество
Е
непрерывных
(напр., на сегменте [0,1] числовой прямой) функций было компактно
(в пространстве С всех непрерывных на [0,1] функций), необходимо
и достаточно, чтобы функции множества Е были ограничены в своей
совокупности (одной и той же постоянной) и равностепенно непрерывны
(см. Равностепенная непреры вность).

Компактное метрическое пространство
наз.
компактом. Среди множеств, лежащих в евклидовых пространствах
Е" произвольного
числа измерений, компактны в Е" все ограниченные множества и только
они; компактами (т. е. компактными в себе множествами)
среди них
будут лишь замкнутые (и ограниченные) множества. В
гильбертовом
пространстве ограниченность недостаточна для компактности: сфера в
гильбертовом пространстве некомпактна, хотя образует замкнутое и ограниченное
множество. Компактом является т. н. фундаментальный параллелепипед гильбертова
пространства, т. е. множество всех точек этого пространства, координаты
к-рых удовлетворяют условиям 0 =< xn.
Все компакты (и среди всех топологич. пространств только компакты) гомеоморфны
(см. Гомеоморфизм) замкнутым множествам фундаментального параллелепипеда
гильбертова пространства (теорема Урысона). Компакты конечной размерности
и
только они гомеоморфны замкнутым ограниченным множествам евклидовых пространств.

Для метрич. пространств, а также
для топологич. пространств со счётной базой свойство К. (в себе) эквивалентно
свойству 6 и компактности.

Лит.: Александров П. С., Введение
в общую теорию множеств н функций, М.- Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств,
пер. с нем., М.- Л., 1937.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я