КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА числа вида
x
+
iу, где х и у - действит. числа, а г - т. н. мнимая
единица (число, квадрат к-poro равен - 1); x наз. действительной
частью, а у - мнимой частью К. ч. z = х +iу (обозначают
x
=
Rez, y = Im z). Действительные числа - частный случай К. ч. (при
у = 0); К. ч., не являющиеся действительными (y<> 0),
наз. мнимыми числами; при x = 0 К. ч. наз. чисто мнимым. К. ч. z
=x + iy и z = x - гу наз. комплексно-сопряжёнными.
Арифметич. действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий
над многочленами с учётом условия г² = -1. Геометрически каждое
К. ч. x + гу изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные
координаты x и у (см. рис.). Если полярные координаты
этой точки обозначить черев г и ср, то соответствующее К. ч. можно
представить в виде:

r(cos ф + sin ф) (тригонометрич.,
или полярная, форма

К. ч.);



наз. м од у л е м К. ч. x +
гу,
а
ф = arg z - аргументом его. Тригонометрич. форма К. ч. особенно
удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

в частности

По своим алгебраич. свойствам совокупность
К. ч. образует поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое
уравнение x" + aix"