КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики, в к-ром изучаются функции
при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального
исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается
непрерывно изменяющимся. Конечными разностями "вперёд" для последовательности
значений y..., y = f(xf(x), соответствующих
последовательности значений аргумента х... (хпостоянное, k - целое),

наз. выражения:

Соответственно,
конечные разности "назад"
определяются равенствами

При интерполяции
часто
пользуются т.н. центральными разностями бⁿу, к-рые вычисляются
при нечётном ? в точках x = Xi + 1/2h, а при чётном

n в
точках x = xпо формулам

Они дополняются
средними арифметическими

где т -
1,2,...;
если т = 0, то полагают

Центральные
разности бⁿу связаны с конечными разностями Dⁿу
соотношениями

Если значения
аргумента не составляют арифметич. прогрессии, т. е. Xне
есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными
разностями, последовательно определяемыми по формулам

Связь между
конечными разностями и производными устанавливается формулой
, где Существует полная аналогия
между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и
ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности
являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа:
интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование,
численные методы решения дифференциальных уравнений.

Напр., для
приближённого
решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными)
часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями,
делёнными на степени разностей аргументов,и решают полученное таким способом
разностное уравнение (одномерное или многомерное).

Важный раздел
К. р. и. посвящён решению разностных уравнений вида

(1)

- задаче, во
многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно
уравнение (1) записывают в виде

выражая разности
через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет
линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

где
a, ..., aпостоянные числа. Чтобы
решить такое уравнение, находят корни
его характеристич. уравнения

Тогда общее
решение данного уравнения представится в виде

где С..., Ссреди чисел нет равных).

Лит.: Березин
И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1-2, М., 1966; Гельфонд
А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967. Под редакцией
Н. С. Бахвалова.