КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ линии, к-рые получаются сечением прямого кругового конуса
плоскостями,
не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов: 1) секущая
плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис.,
а); линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс; окружность
как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна
оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей
конуса (рис., 6); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность
кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости. 3) Секущая
плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в);линия пересечения
- гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся
в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.С
точки зрения аналитич. геометрии К. с.- действительные нераспадающиеся
линии
второго порядка. В
тех случаях, когда К. с. имеет центр симметрии (центр), т. е. является
эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения
начала координат в центр) к виду:

Дальнейшие
исследования таких (наз. центральными) К. с. показывают, что их уравнения
могут быть приведены к ещё более простому виду:

если за направления
осей координат выбрать т. н. главные направления - направления главных
осей (осей симметрии) К. с. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие
со знаком С), то уравнение (1) определяет эллипс; если А и В разного
знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы
привести к виду (1) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна
ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная
к
ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести
к виду:

К. с. были
известны уже математикам Др. Греции (напр., Менехму,4в. до н. э.); с помощью
этих кривых решались нек-рые задачи на построение (удвоение куба и др.),
оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертёжных инструментов
- циркуля и линейки. В первых дошедших до нас исследованиях греч. геометры
получали К. с., проводя секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих,
при этом, в зависимости от угла раствора при вершине конуса (т. е. наибольшего
угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом,
если этот угол - острый, параболой, если - прямой, и гиперболой, если -
тупой. Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были "Конические
сечения" Аполлония Пергского (ок. 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории
К.с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрич. методов: проективного
(франц. математики Ж. Де-зарг, Б. Паскаль) и в особенности координатного
(франц. математики Р. Декарт, П. Ферма).

При надлежащем
выборе системы координат уравнение К. с. может быть приведено к виду:

Если р не равно
0, то оно определяет параболу при лямбда= 0, эллипс при лямбда< 0, гиперболу
при лямбда> 0. Геометрич. свойство К. с., содержащееся в последнем уравнении,
было известно уже древнегреч. геометрам и послужило для Аполлония Пергского
поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих
пор: слово "парабола" (греч. parabole) означает приложение (т. к. в греч.
геометрии превращение прямоугольника данной площади у² в
равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р наз. приложением
данного прямоугольника к этому основанию); слово "эллипс" (греч. elleipsis)
- недостаток (приложение с недостатком), слово "гипербола" (греч. hyperbole)-избыток
(приложение с избытком).

С переходом
к совр. методам исследования стереометрич. определение К. с. было .заменено
планиметрич. определениями этих кривых как геометрич. местна плоскости.
Так, напр., эллипс определяется как геометрич. место точек, для к-рых сумма
расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение.

Можно дать
другое планиметрич. определение К. с., охватывающее все три типа этих кривых:
К. с.- геометрич. место точек, для каждой из к-рых отношение её расстояний
до данной точки ("фокуса") к расстоянию до данной прямой ("директрисы")
равно данному положительному числу ("эксцентриситету") е. Если при
этом е < 1, то К. с.- эллипс; если е > 1, то - гипербола; если е
= 1, то - парабола.

Интерес к К.
с. всегда поддерживался тем, что эти кривые часто встречаются в различных
явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке К. с. приобрели
особенное значение после того, как нем. астроном И. Кеплер открыл из наблюдений,
а англ, учёный И. Ньютон теоретически обосновал законы движения планет,
один из к-рых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся
по К. с., в одном из фокусов к-рого находится Солнце. Следующие примеры
относятся к отдельным типам К. с.: параболу описывает снаряд или камень,
брошенный наклонно к горизонту (правильная форма кривой несколько искажается
сопротивлением воздуха); в нек-рых механизмах пользуются зубчатыми колёсами
эллиптич. формы ("эллиптическая зубчатка"); гипербола служит графиком обратной
пропорциональности, часто наблюдающейся в природе (напр., закон Бойля-Мариотта).

Лит.: Александров
П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Ван дер Варден Б. Л-,
Пробуждающаяся наука, пер. с голл-, М., 1959.

В. И. Битюцков.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я