КОНТИНУУМА ПРОБЛЕМА
задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть
средствами множеств теории следующее утверждение, наз. континуум-гипотезой
(К.-г.): мощность континуума есть первая мощность, превосходящая
мощность множества всех натуральных чисел. Обобщённая континуум-гипотеза
(О. к.-г.) гласит, что для любого множества Р первая мощность, превосходящая
мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества
Р. математики Р. Бэр, А. Лебег, сов. математик Н. Н. Лузин и др.) к убеждению,
что К. п. не может быть решена традиц. средствами теории множеств. Это
убеждение было решающим образом подтверждено точными методами математич.
логики
и аксиоматической теории множеств. В 1936 К. Гёделъ
доказал,
что О. к.-г. совместна с одной естественной системой аксиоматич. теории
множеств и, следовательно, не может быть опровергнута традиц. средствами.
Наконец, в 1963 амер. логик П. Коэн, используя изобретённый им т. н. метод
вынужде-ния, сумел доказать, что и отрицание К.-г. совместно с этой системой,
так что К.-г. невозможно доказать с помощью обычных методов теории множеств.
Последователи Коэна затем получили методом вынуждения много результатов,
проливающих свет на роль К.-г. и О. к.-г. и их взаимоотношение с др. теоретико-множественными
принципами.
Полученные
результаты свидетельствуют, что на совр. этапе развития теории множеств
возможны различные подходы к основаниям этой науки, существенно различным
образом отвечающие на естеств. проблемы, такие, напр., как К. п., возникающие
в теории множеств.
Лит.: Коэн
П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969;
Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М.,
1966. А. Г. Драгалин,
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я