КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ конформное преобразование (матем.), отображение одной
фигуры (области) на другую, при к-ром две любые кривые, пересекающиеся
под нек-рым углом во внутр. точке первой фигуры, преобразуются в кривые
второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом. Простейший пример К. о.
представляет подобие (рис. 1). Другой пример - К. о. прямого угла на полуплоскость
(рис. 2). Его можно получить, если каждый луч, выходящий из точки О под
углом альфа к Ох, преобразовать в луч, выходящий из О' под углом
2альфа к О'х', и притом так, что каждая точка М, для к-рой
ОМ
= г, преобразуется в точку М', для к-рой О'М' = г².
Т.
к. М изображает комплексное число z = r (cos a + z'sina),
а М' - число z' = r²(cos2a + z'sin2a) = = z²,
то
можно сказать, что рассматриваемое К. о. осуществляется посредством функции
комплексного переменного z¹ = z². Нетрудно
убедиться в том, что полупрямые, параллельные сторонам угла, преобразуются
при этом в полупараболы с общим фокусом в О' (рис. 3).



ъ

Нужно заметить,
что углы с вершиной в точке О изменяются, увеличиваясь вдвое; это не противоречит
определению К. о., т. к. О не является внутр. точкой области. В общем случае
К. о. любой криволинейный многоугольник Р, лежащий внутри отображаемой
области, преобразуется в криволинейный многоугольник Р' с соответственно
равными углами, но длины сторон изменяются непропорционально (рис. 4).
Если многоугольник Р уменьшается, стягиваясь в нек-рую точку А, то и Р'
уменьшается, стягиваясь в соответствующую точку А';

при этом отношения
длин сторон стремятся к одному и тому же числу:

к-рое зависит
только от положения точки А (но не от рассматриваемых многоугольников);
оно наз. растяжением в данной точке. Указанный факт позволяет приближённо
рассматривать любое К. о. "в малом" (т. е. в достаточно малой окрестности
каждой точки А) как преобразование подобия, соединённое, вообще
говоря, ещё с поворотом (см., например, четырёхугольники Р к Р' на
рис. 4).

К. о. применяется
с давних пор в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара
изобразить на плоскости (на карте) с сохранением величин всех углов; примерами
таких К. о. являются стереографическая проекция и Мерка-тора
проекция. Более общая задача К. о. произвольной поверхности (или её
части) на другую поверхность (или её часть) изучается в дифференциальной
геометрии. Особое место занимают К. о. одних областей плоскости на другие;
их теория имеет существенные приложения в гидро- и аэромеханике, электростатике
и теории упругости. Решение многих важных задач получается без труда, когда
область, для к-рой ставится задача, имеет достаточно простой вид (напр.,
круг или полуплоскость). Если задача ставится для другой, более сложной
области, то оказывается достаточным отобразить конформно простейшую область
на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Так,
напр., задача об
определении потока несжимаемой однородной жидкости или газа, обтекающего
цилиндр с круговым сечением, решается сравнительно легко. Линии тока (т.
е. линии, вдоль к-рых направлены скорости частиц жидкости) для этого случая
изображены на рис. 5; здесь представлено течение при наличии циркуляции.
Если
отобразить конформно внешность кругового сечения цилиндра на внешность
попереч. сечения крыла самолёта (профиля крыла), то линии тока для случая
круглого цилиндра перейдут, как можно показать, в линии тока при обтекании
крыла (рис. 6). Знание отображающей функции z' = f(z) позволяет
подсчитать скорость потока в любой точке, вычислить подъёмную силу крыла
самолёта и т. д. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский, создавая
теорию крыла самолёта.

Не всякие области
плоскости допускают К. о. друг на друга. Так, напр., круговое кольцо, ограниченное
концентрическими окружностями радиусов Rи Rгде
Rнельзя
отобразить конформно на другое кольцо, ограниченное окружностями радиусов
rи rRне равно rТем
более замечательно, что любые две области, каждая из к-рых ограничена лишь
одной кривой (односвязные области), могут быть конформно отображены друг
на друга (теорема Римана). Напр., любой многоугольник допускает К. о. на
любой другой многоугольник, а также на полуплоскость или на круг. Здесь
углы на границе, вообще говоря, изменяются, но определение К. о. и не требует
их сохранения. Что касается областей, ограниченных несколькими кривыми,
то такую область всегда можно отобразить конформно на область, ограниченную
таким же числом параллельных между собой прямолинейных отрезков (теорема
Гильберта) или окружностей (теорема Кебе). Но размеры и взаимное расположение
этих отрезков или окружностей нельзя задать произвольно.

К. о. одной
области плоскости на другую либо сохраняет направления отсчёта углов между
кривыми - К. о. первого рода; либо изменяет их на противоположные - К.
о. второго рода. Если к любому К. о. первого рода присоединить ещё зеркальное
отражение относительно к.-л. прямой, то получится К. о. второго рода (рис.
7).

Если ввести
комплексные переменные г и г' в плоскостях оригинала и образа, то г',
рассматриваемое
при К. о. как функция от z, является или аналитической функцией (К.
о. первого рода), или функцией, сопряжённой с аналитической(К. о. второго
рода). Обратно: любая функция z' = f(z), аналитическая в данной
области и принимающая в разных точках области разные значения [f(zне равно f(z), если z(такая функция наз. однолистной), отображает конформно данную область на
нек-рую область плоскости z'. Поэтому изучение К. о. областей плоскости
сводится к изучению свойств однолистных функций. Всякое К. о. трёхмерных
областей переводит сферы и плоскости в сферы и плоскости и сводится или
к преобразованию подобия, или к последовательно выполненным одному преобразованию
инверсии
и
одному преобразованию подобия (теорема Лиувилля). Вследствие этого К. о.
трёхмерных (и вообще многомерных) областей не имеют такого большого значения
и таких разнообразных приложений, как К. о. двумерных областей.

Начало теории
К. о. было заложено Л. Эйлером (1777), установившим значение функций
комплексного переменного в задаче К. о. частей сферы на плоскость (построение
геогр. карт). Изучение общей задачи К. о. одной поверхности на другую привело
в 1822 К. Гаусса к развитию общей теории поверхностей. Б. Ри-ман
(1851)
установил условия, при к-рых возможно К. о. одной области (плоскости) на
другую; однако намеченное им решение удалось обосновать лишь в нач. 20
в. (в трудах А. Пуанкаре и К. Каратеодори). Исследования
Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, открывших широкое поле приложений
К. о. в аэро- и гидромеханике, послужили мощным стимулом для развития теории
К. о. как большого раздела теории аналитич. функций. В этой области существенное
значение имеют теоретич. труды отечеств, учёных.

Лит.: Лаврентьев,
Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М.,
1965; Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 1966; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3,
ч. 2, М., 1969; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд.,
т. 2, М., 1968; Коппенфельс В., Штальман Ф-, Практика конформных отображений,
пер. с нем.. М., 1963. А.И.Маркушевич.