КООРДИНАТЫ

КООРДИНАТЫ [от
лат. со(сшп) - совместно и ordinatus - упорядоченный, определённый], числа,
заданием к-рых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности
или в пространстве. Первыми вошедшими в систе-матич. употребление К. являются
астро-номич. и геогр. К.- широта и долгота, определяющие положение точки
на небесной сфере или на поверхности земного шара (см. Небесные координаты,
Географические координаты). В 14 в. франц. математик Н. Орем пользовался
К. на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то,
что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически К. стали
применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 в. Заслуга выяснения
всего значения метода К., позволяющего систематически переводить задачи
геометрии на язык ма-тем. анализа и, обратно, истолковывать геометрически
факты анализа, принадлежит франц. учёному Р. Декарту. Кроме К. точки, рассматривают
также К. прямой, плоскости и других геом. объектов. В теоретич. механике
употребляют К. механич. систем - числа, определяющие положение механич.
системы (напр., нек-рого твёрдого тела) в каждый момент времени.



Координаты
точки на плоскости. Аффинные, или общие декартовы, К. точки на плоскости
получают, выбирая точку О (начало К.)
и два не лежащих на одной прямой

вектора
исходящих из точки О. Положение точки Р определяется (в выбранной
системе К.) двумя К.: абсциссой

и ординатой

где ХР параллельно
ОВ и YP параллельно ОА (см. рис. 1, где х = 2, у
=
-1).

В частном случае,
когда векторы

иперпендикулярны
и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные
К.

Если угол между
произволен, но длины этих векторов одинаковы, то получают те косоугольные
К., рассмотрением к-рых ограничивался сам Декарт (часто только их и называют
декартовыми, сохраняя для общих декартовых К. название аффинные К.).

Полярные К.
точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс), выходящий из неё
луч ON (см. рис. 2) и единицу измерения длин. Координатами точки Р служат
расстояние р = ОР и угол
Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости
Р
пару чисел
достаточно рассматривать
подчинённые неравенствам

За исключением точки

О, для к-рой
, а угол ф не определён, соответствие между точками Р, отличными от О,
и парами
подчинёнными указанным условиям, взаимно однозначно.

Из других специальных
систем К. на плоскости следует отметить также эллиптические координаты.

В случае аффинных
К. линии х = const образуют пучок прямых, параллельных оси Оу,
а
линии у = const - другой пучок прямых, параллельных оси Ох:;
через каждую точку плоскости Р(xпроходит
одна прямая первого пучка (х = x и одна прямая второго
пучка (у = yокружностями, а линии
- лучами, выходящими из начальной точки О; через каждую точку Р, отличную
от О, проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств; отметки
этих двух линий и являются К. точки Р. В более общем случае можно рассмотреть
в к.-л. области G плоскости две функции точки и(Р) и v(P) такого
рода, что каждая линия и(Р) = const пересекается с каждой линией
семейства v(P) = const в пределах области G не более чем в одной
точке. Очевидно, что в этом случае числа u(Р) и v(P) однозначно
определяют положение точки Р в области G, т. е. яв-

ляются К. точки
Р
в этой области; линии, определяемые уравнениями и = const или
v = const, называют при этом координатными линиями.



Криволинейные
координаты на поверхности. Изложенная идея применима без всяких изменений
и к введению криволинейных К. на произвольной поверхности. Напр., для случая
долготы
и широты
на сфере линиями
= const являются меридианы, а линиями
= const - широтные круги, расположение к-рых всем хорошо известно из элементов
географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К. на произвольной
поверхности являются основным аппаратом дифференциальной геометрии поверхностей
.



Однородные
координаты на плоскости. Евклидова плоскость, дополненная бесконечно
удалёнными элементами, может рассматриваться с проективной точки зрения
как замкнутая поверхность (см. Проективная плоскость), на к-рой
бесконечно удалённые точки не играют к.-л. особой роли. На всей проективной
плоскости введение К., характеризующих положение точки парой чисел (и,
v) с сохранением взаимной однозначности и непрерывности соответствия,
невозможно. Вместо этого пользуются однородными К. При этом каждой точке
ставятся в соответствие не пары, а тройки чисел
причём двум тройкам
и

соответствует одна и та же точка только тогда, когда входящие в них числа
пропорциональны, т. е. существует такой множитель лямбда., что

Такие системы
координат играют большую роль в геометрии.



Координаты
точки в пространстве. Аффинные, или общие декартовы, К. в трёхмерном
пространстве вводятся заданием точки О и трёх векторов
не лежащих в одной плоскости. Для получения К. х, у, z точки Р
векторпредставляют
в виде

В простейшем
случае прямоугольных К. векторы епопарно
перпендикулярны и имеют единичную длину. В пространстве возможны два существенно
различных типа систем прямоугольных К.: правая система (см. рис. 3, где
еи ележат в плоскости чертежа,
а енаправлен вперёд, к читателю) и левая система (см.
рис. 4, где еележат в плоскости чертежа,
а е„ направлен к читателю).

В пространстве
пользуются также системами криволинейных К., общая схема к-рых такова:
в к.-л. области G пространства рассматриваются три функции точки и(Р),
v(P), w(P), подчинённые условию, чтобы
через каждую точку Р области G проходила одна поверхность семейства
и
= const, одна поверхность семейства v = const и одна поверхность
семейства w = const. Тем самым каждой точке ставятся в соответствие три
числа (и, v, w) - её К. Поверхности, определяемые уравнениями и
=
const или v = const, или w = const, называют координатными.

В приложениях
(к механике, матем. физике и пр.) наиболее употребительны нек-рые спец.
системы криволинейных К., а именно: сферические координаты, цилиндрические
координаты.