КОРРЕЛЯЦИЯ

КОРРЕЛЯЦИЯ в
математической статистике, вероятностная или статистич. зависимость, не
имеющая, вообще говоря, строго функционального характера. В отличие от
функциональной, корреляц. зависимость возникает тогда, когда один из признаков
зависит не только от данного второго, но и от ряда случайных факторов или
же когда среди условий, от к-рых зависят и тот и другой признаки, имеются
общие для них обоих условия. Пример такого рода зависимости даёт корреляционная
таблица. Из табл. видно, что при увеличении высоты сосен в среднем растёт
и диаметр их стволов; однако сосны заданной высоты (напр., 23 м) имеют
распределение диаметров с довольно большим рассеянием. Если в среднем 23-метровые
сосны толще 22-метровых, то для отд. сосен это соотношение может заметным
образом нарушаться. Статистическая К. в обследованной конечной совокупности
наиболее интересна тогда, когда она указывает на существование закономерной
связи между изучаемыми явлениями.

В основе теории
К. лежит предположение о том, что изучаемые явления подчинены определённым
вероятностным закономерностям (см. Вероятность, Вероятностей теория).
Зависимость
между двумя случайными событиями проявляется в том, что условная вероятность
одного из них при наступлении другого отличается от безусловной вероятности.
Аналогично, влияние одной случайной величины на другую характеризуется
законами условных распределений первой при фиксированных значениях второй.
Пусть для каждого возможного значения X = x
определено условное
математич. ожидание у (x) = Е (?\? = x) величины У (см. Математическое
ожидание). Функция у (х) наз. регрессией величины У по X, а
её график - линией регрессии У по X. Зависимость У от
X проявляется
в изменении ср. значений У при изменении X, хотя при каждом X
=
x величина У остаётся случайной величиной с определ. рассеянием.
Пусть ту = Е(У)- безусловное математич. ожидание У. Если величины н е-зависимы,
то все условные математич. ожидания У не зависят от л и совпадают с безусловными:

у (х) =
Е
(У|Х = x) = Е(У) = mсправедливо. Для выяснения вопроса, насколько хорошо регрессия передаёт
изменение У при изменении X, используется условная дисперсия У при данном
значении X = х или её ср. величина - дисперсия У относительно линии
регрессии (мера рассеяния
около линии регрессии):

При строгой
функциональной зависимости величина У при данном X = х принимает
лишь одно определ. значение, то есть рассеяние около линии регрессии равно
нулю.

Приближённая
линия регрессии
для зависимости
среднего диаметра северной сосны от высоты.

Линия регрессии
может быть приближённо восстановлена по достаточно обширной корреляц. табл.:
за приближённое значение у (х) принимают среднее из тех наблюдённых
значений У, к-рым соответствует значение X = х. На рисунке изображена
приближённая линия регрессии для зависимости ср. диаметра сосен от высоты
в соответствии с табл. В ср. части эта линия, по-видимому, хорошо выражает
действит. закономерность. Если число наблюдений, соответствующих нек-рым
значениям X, недостаточно велико, то такой метод· может привести к совершенно
случайным результатам. Так, течки линии, соответствующие высотам 29 и 30
м,
ненадёжны
ввиду малочисленности материала. См. Регрессия.

В случае К.
двух количеств, случайных признаков обычным показателем концентрации распределения
вблизи линии регрессии
служит коррел яционное отношение

где-
дисперсия У (аналогично определяется корреляц. отношение ?²но между ?Величина ?², равна
нулю тогда и только тогда, когда регрессия имеет вид y (х) = m,
в этом случае говорят, что У некоррелирована с Х; ?²единице в случае точной функциональной зависимости У от X. Наиболее употребителен
при измерении степени зависимости коэфф. корреляции между X и У

всегда - 1
< р< 1. Однако практич. использование коэфф. К. в качестве меры зависимости
оправдано лишь тогда, когда совместное распределение пары (X, У) нормально
или приближённо нормально (см. Нормальное распределение); употребление
ркак меры зависимости между произвольными У и X приводит иногда к ошибочным
выводам, т. к. рможет равняться нулю даже тогда, когда У строго зависит
от X. Если двумерное распределение X и У нормально, то линии регрессии
? по X и X по У суть прямые

где
именуются коэффициентами регрессии, причём

Так как в этом
случае и

то очевидно,
что р(корреляционные отношения совпадают с р²) полностью определяет
степень концентрации распределения вблизи линий регрессии: в предельном
случае р= ± 1 прямые регрессии сливаются в одну, что соответствует строгой
линейной зависимости между У и X, при р=0 величины не коррели-рованы.

При изучении
связи между несколькими случайными величинами ??, . . . , Х„

Корреляция
между диаметрами и высотами 624 стволов северной сосны