КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ задачи, в к рьгх из нек-рого класса функций, определённых в
данной области, требуется найти ту, к-рая удовлетворяет на границе (крае)
этой области заданным условиям. Функции, описывающие конкретные явления
природы (физ., хим. и др.), как правило, представляют собой решения уравнений
матем. физики, выведенных из общих законов, к-рым подчиняются эти явления.
Когда рассматриваемые уравнения допускают целые семейства решений, дополнительно
задают т. н. краевые или начальные условия, позволяющие однозначно выделить
интересующее нас решение. В то время, как краевые условия задаются исключительно
на граничных точках области, где ищется решение, начальные условия могут
оказаться заданными на определённом множестве точек внутри области.

Напр., уравнение
имеет бесконечное множество решений

где

f и f- произвольные
дважды непрерывно дифференцируемые функции. Однако в прямоугольнике -
плоскости с прямоугольными декартовыми координатами хуравнение
(1) имеет единственное решение удовлетворяющее
краевым

и начальным

условиям. При
этом дважды непоевывно дифференцируемые функциисчитаются
наперёд заданными. Если переменное хесть время t,
то решение и(х, t) уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2)
и (3), описывает колебание упругой струны длины
с концами, закреплёнными в точках (0, 0) и (0, l). Изложенная задача
нахождения решения уравнения (1) при условиях (2) и (3) - простейший пример
т. н. смешанной задачи.

Вообще краевыми
наз. задачи, в к-рых в заданной области G пространства независимых переменных
ищется решение уравнения

при требовании,
что искомая функция и(х) на границе S области G удовлетворяет краевому
(граничному) условию

где D и
В
- заданные операторы, причём, как правило, D - дифференциальный
или интегро-дифференциальный оператор. Граница S наз. носителем краевых
данных (5).

Когда операторы
D
и В линейны, К. з. (4), (5) наз. линейной. В предположениях, что S
является (п - 1)-мерной гиперповерхностью, D - линейным дифференциальным
оператором второго порядка

а

где Aij,
Bi, С, F, f - заданные функции, задача (4), (5) наз. первой краевой
задачей, или задачей Дирихле. Если же

где ai = 1, ..., п, f - заданные функции, то задача (4), (5) наз.
задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a..., a) совпадает с конормалью к S, задача наклонной
производной носит назв. второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача
Дирихле (Неймана) наз. однородной, если

Задачи Дирихле
и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой
границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными
коэффициентами, т. е. при соблюдении условий

где
- произвольные действительные параметры, a ko и k\ - фиксированные
отличные от нуля числа одинакового знака.

При требовании
достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности
оператора D справедливы след, утверждения: 1) число k линейно
независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно;

2) для разрешимости
задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F(x)
и
f(y)
были подчинены дополнит, ограничениям типа условий ортогональности,
число к-рых равной;

3) при соблюдении
условия

задача Дирихле
всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого
диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5)
при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых
данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

Когда D
представляет
собой оператор Лапласа решение задачи

Дирихле в ограниченной
области с достаточно гладкой гранящей всегда существует и единственно,
причём для нек-рых областей частного вида оно выписывается в явном виде.
Так, напр., при п = 1 в интервале - 1 < х < 1 это решение
имеет вид

где f= u(- 1), fп = 3, соответственно,
в круге |х| < 1 и шаре | х| < 1

где |х -
у| - расстояние между точками х и у. Линейную К. з. наз.
фред-гольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения
1) - 5).

В К. з. для
эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия
является вся граница S области G.

Если условие
(6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является
эллиптическим в том смысле, что

квадратичная
форма

в области D
положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости
К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить
от краевых данных.

Линейная К.
з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора
D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной
производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a..., aS лежит в касательной
к S плоскости.

Когда дифференциальный
оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь
содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от
краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые
(порой весьма сильные) ограничения. Так, напр., уравнение теплопроводности

являющееся
типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном
прямыми: x=0, xх имеет единственное решение u(x1,х2), удовлетворяющее
краевым условиям:

при произвольных
достаточно гладких данных Следовательно,
краевое условие 0 =< x=<1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное
выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном
прямыми: x= 0, x1,

имеет единственное
решение u(xудовлетворяющее краевым
условиям:

при произвольных
достаточно гладких данных Очевидно, что
в рассмотренном случае краевые значения

u(x
u(x

не могут быть заданы произвольно.

Особо ставятся
К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный
оператор D принадлежит различным (эллиптич., гиперболич. и пара-болич.)
типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].

Для исследования
К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных
оценок и конечных разностей.

Лит.: Бернштейн
С. Н., Собр. соч.. т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для
эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы
решения эллиптических уравнений, М.- Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения
математической физики, М." 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные
уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными
производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский
А. А., Уравнения математической физики, 3 изд.. М., 1966. А. В. Бицадзе.