КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ

КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ интеграл от
функции, заданной в к.-л. области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном
пространстве. Среди К. и. различают двойные интегралы, тройные интегралы
и т. д. n-кратные интегралы.

Пусть функция f(x, у) задана
в нек-ррй области D плоскости хОу. Разобьём область D на п частичных
областей dt, площади к-рых равны Si, выберем в каждой области
dt
точку
(см. рис.) и составим интегральную с у м-м у

Если при неограниченном уменьшении
максимального диаметра частичных областей dсуммы S
имеют предел независимо от выбора точек ,
то этот предел наз. двойным интегралом от функции f(x, у) по области
D и обозначают

Аналогично определяется тройной интеграл
и вообще n-к ратный интеграл.

Для существования двойного интеграла
достаточно, напр., чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью,
а
функция f(x, у) была непрерывна в D. К. и. обладают рядом свойств,
аналогичных свойствам простых интегралов. Для вычисления К. и. обычно
приводят его к повторному интегралу. В спец. случаях для сведения
К. и. к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и
Остроградского
формула. К. и. имеют обширные применения:

с их помощью выражаются объёмы тел,
их массы, статич. моменты, моменты инерции и т. п.

Лит. см. пристатьях Интегральное
исчисление. Интеграл.