КРИВИЗНА

КРИВИЗНА (матем.),
величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) от прямой (плоскости).
Отклонение дуги MN кривой L от касательной МР в точке
М
можно
охарактеризовать с помощью т. н. средней кривизны kравной отношению величины а угла между касательными в точках М и
N к длине дельта s дуги MN:

ka/дельта
S

Г. М. Кржижановкий П. Ф.
Кривоносс.

Для дуги окружности средняя
кривизна равна обратной величине радиуса этой окружности и, т. о., наглядно
характеризует степень искривлённости окружности - с уменьшением радиуса
увеличивается искривлённость дуги.

Предельное значение средней
кривизны при стремлении точки N кривой к точке М, т.е. при
дельта s -> 0, наз. кривизной k кривой L в точке М:





Величина R, обратная
кривизне, обычно наз. радиусом кривизны кривой L в точке М.

Если кривая L является графиком
функции у =f(x), то кривизна k этой кривой может быть вычислена
по формуле



Кривизна k кривой
L
представляет
собой, вообще говоря, функцию длины дуги s, отсчитываемой от нек-рой точки
М этой кривой. Если для двух плоских кривых LLК. как функции длины дуги одинаковы, то кривые Lи
Lконгруэнтны -они могут быть совмещены движением. Поэтому задание К.
плоской кривой как функции длины дуга обычно наз. натуральным (внутренним)
уравнением этой кривой.

Для характеристики отклонения
пространственной кривой L от плоскости вводят понятие т. н. кручения,
к-рое
иногда называют второй К. Кручение а в точке М кривой определяется
как предел отношения угла Р между соприкасающимися плоскостями
к
кривой в точках М и N к длине дельта s дуги MN при стремлении точки
N к М:



При этом угол 3 считается
положительным, если поворот соприкасающейся плоскости в N при стремлении
N
к М происходит против часовой стрелки при наблюдении из точки
М.
К.
и кручение, заданные как функции длины дуги, определяют кривую
L
с
точностью до положения в пространстве.

Исследование отклонения поверхности
от плоскости может быть проведено след. образом. Через нормаль в данной
точке М поверхности проводят всевозможные плоскости. Сечения поверхности
этими плоскостями наз. нормальными сечениями, а кривизны нормальных сечений
в точке М - нормальными
кривизнами поверхности в этой точке. Максимальная и минимальная из нормальных
кривизн в данной точке М именуются главными кривизнами. Если kи kгл. кривизны, то величины K = kи
Н = 1/2(kполной
кривизной
(или гауссовой кривизной) и средней кривизной
поверхности
в точке М. Эти К. поверхности определяют нормальные К., поэтому
могут служить характеристикой отклонения поверхности от плоскости. В частности,
если К=О и Н=О во всех точках поверхности, то поверхность представляет
собой плоскость.

Полная К. не меняется при изгибаниях
поверхности (деформациях поверхности, не меняющих длин линий на ней). Если,
напр., полная К. равна нулю во всех точках поверхности, то каждый достаточно
малый её кусок может быть изогнут на плоскость. Полная К. на поверхности
без обращения к объемлющему пространству составляет объект т. н. внутр.
геометрии поверхности. Средняя К. связана с внеш. формой поверхности.

Понятие К. обобщается на объекты более
общей природы. Напр., понятие К. возникает в т. н. римановых пространствах,
представляя
собой меру отклонения этих пространств от евклидовых.

Лит.: Бляшке В., Дифференциальная
геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер.
с нем., т.1, М. - Л., 1935; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии,
4 изд., М., 1956; Погорелоd А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд.,
М., 1969.

Э. Г. Позняк.