ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ 1) в гидромеханике
- ур-ния движения жидкой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми
являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения
частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся
траектории, скорости и ускорения частиц. Обычно этот путь исследования
оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханич.
задач идут др. путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют
главным образом при изучении колебательных движений жидкости. Л. у. являются
ур-ниями в частных производных и имеют вид:

где t - время, х, у, z - координаты
частицы, a1, а2, а3 - параметры, к-рыми

отличаются частицы друг от друга
(напр., начальные координаты частиц), X, Y, Z - проекции объёмных сил,
р - давление, Р - плотность.

Решение конкретных задач сводится
к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти
х, у, г, р, р как функции f и а., анадо использовать ещё неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа)
и ур-ние состояния в виде Р ⁼ f (р) (для несжимаемой жидкости
р = const).

2) В общей механик е- ур-ния, применяемые
для изучения движения механич. системы, в к-рых за величины, определяющие
положение системы, выбирают независимые между собой параметры, наз. обобщёнными
координатами. Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.

Движение механич. системы можно изучать,
используя или непосредственно уравнения, к-рые даёт 2-й закон динамики,
или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика).
Первый путь приводит к необходимости решать большое число ур-ний, зависящее
от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти ур-ния содержат
дополнит, неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические).
Всё это приводит к большим математич. трудностям. Второй путь требует применения
каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же
трудностям.

Л. у. дают для широкого класса механич.
систем единый и достаточно простой метод составления ур-ний движения, не
зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество
Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы
и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Напр., машины
и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1-2 степени
свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь
1-2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются
все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются
при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов,
в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда
на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду,
позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не
только в механике, но и в др. областях физики.

Для голономных систем Л. у. в общем
случае имеют вид:

где qi - обобщённые координаты, число
к-рых равно числу п степеней свободы системы, q'i - обобщённые скорости,
Q. - обобщённые силы, Т - кинетическая энергия системы, выраженная через
qi и q'i.

Для составления ур-ний (1) надо найти
выражение Т и вычислить по заданным силам Qi. После подстановки Т в левые
части ур-ния (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные
по времени, т. е. будут дифференциальными ур-ниями 2-го порядка относительно
qi. Интегрируя эти ур-ния и определяя постоянные интегрирования по начальным
условиям, находят зависимости q1(f), т. е. закон движения системы в обобщённых
координатах.

Когда на систему действуют только
потенциальные силы, Л. у. принимают вид:

где L = Т - П - т. н. функция Лагранжа,
а Л - потенциальная энергия системы. Эти ур-ния используются и в др. областях
физики.

Ур-ния (1) и (2) наз. ещё Л. у. 2-го
рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных ур-ний в декартовых
координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые
множители. Особыми преимуществами эти ур-ния не обладают и используются
редко, гл. обр. для отыскания реакций связей, когда закон движения системы
найден другим путём, напр, с помощью ур-ний (1) или (2).

Лит. см. при ст. Механика. О Л. у.
в гидромеханике см. К о ч и н Н. ?., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В.,
Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963. С. М. Тарг.