ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ

ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ функция
f(Х) векторного переменного х, обладающая следующими свойствами:

1) f(x+y) = f(x) + f(y), 2) f(hx)
= hf(x) (h - число). Л. в.-ф. в n-мер- ном пространстве вполне определяется
значениями, принимаемыми ею для п линейно независимых векторов. Скалярную
(принимающую числовые значения) Л. в.-ф. называют также линейным функционалом;
в n-мерном пространстве она выражается линейной формой, f(x) = = 0.1X1
+ пгХг +... + а„хвектора х. Примером скалярной Л. в.-ф. является скалярное произведение
вектора х и нек-poro постоянного вектора а:

в пространстве, в к-ром определено
скалярное произведение, всякая скалярная Л. в.-ф. имеет такой вид. Векторная
(принимающая векторные значения) Л. в.-ф. определяет линейное или аффинное
преобразование пространства и называется также линейным оператором, или
аффинором. Векторная Л. в.-ф. у = f(x) в n-мерном пространстве выражается
в координатах формулами:

Здесь числа at,- (г, j = 1, 2,...,
n) составляют матрицу векторной Л. в.-ф. Если определить сумму векторных
Л. в.-ф. f(*) и д(х) как Л. в.-ф. f(*) + д(х), а произведение тех же функций,
как Л. в.-ф. д {f(x)}, то сумме и произведению векторных Л. в.-ф. будут
соответствовать сумма и произведение соответствующих матриц. Примером векторной
Л. в.-ф. является Л. в.-ф. вида:

где A1, А2, ...,Аn, a1, a2, ...аn.
- постоянные векторы; в n-мерном пространстве, в к-ром определено скалярное
произведение, всякая векторная Л. в.-ф. может быть представлена в таком
виде.

Функцию нескольких векторных переменных,
являющуюся Л. в.-ф. относительно каждого своего аргумента, называют полилинейной
(билинейной, трилинейной и т. д.) вектор-функцией. Скалярное и векторное
произведения двух переменных векторов могут служить примерами, соответственно
скалярной и векторной билинейных вектор-функций. Полилинейные вектор-функции
приводят к понятию тензора. О Л. в.-ф. (линейных функционалах и операторах)
в бесконечномерном пространстве см. Функциональный анализ.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я