ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (матем.),
соотношение вида

где <С., СС...,и„ - те или иные матем. объекты, для к-рых определены операции сложения
и умножения на число. В соотношение (*) объекты и,, иг, ...,и„ входят в
1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость
между ними наз. линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный
смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з.
употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з.
между векторами, между функциями от одного или неск. переменных, между
элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами MI, и..., и„ имеется Л. з., то говорят, что эти объекты л и- нейно зависимы;
в противном случае их наз. линейно независимыми. Если объекты и., и<...,
и"
линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией
остальных, т. е.

Непрерывные функции от одного переменного

наз. линейно зависимыми, если между
ними имеется соотношение вида (*), в к-ром знак равенства понимается как
тождество относительно х. Для того чтобы функции cpi(x), <p..., ф„ (x), заданные на нек-ром отрезке ахЬ, были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама

где

Если же функции cpcpдифференциального уравнения, то для существования Л. з. между ними необходимо
и достаточно, чтобы вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке. Линейные
формы от т переменных

наз.
линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в к-ром знак
равенства понимается как тождество относительно всех переменных х\, х..., хлинейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я