ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО то
же, что векторное пространство. В функциональном анализе рассматриваются
гл. обр. бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п.
может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными
коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа.
Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространство
и пространство С[а, Ь] непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ь].
Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в к-рых введена
норма элемента x - неотрицательное число ||дг||, обращающееся в нуль лишь
при x = 0 и обладающее свойствами \\\х\\ = |Х| \\x\\ и \\х + у\\< <
11x11 + \\У\\ (неравенство треугольника). Число \\х - у || называют расстоянием
между элементами х к у (см. также Метрическое пространство). В нормированном
Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности
функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

В конечномерном пространстве различные
нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при
одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах
нормы могут быть существенно различны. Напр., при решении задачи П. Л.
Чебыгиева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи
о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен (k - 1)-й степени
чтобы

имел наименьшее значение. Вводя в
пространство С[0,1] норму формулой

эту задачу можно сформулировать следующим
образом: требуется найти многочлен
расстояние к-рого от функции t^k было бы наименьшим. При рассмотрении
же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций),
естественно рассматривать норму, определённую формулой

и решать задачу о наилучшем приближении
в смысле этой нормы. Нормы \\x\\i ^и \\х\\г существенно различны,
так как, напр., последовательность функций

по первой норме <расходится, а
по второй норме при p(t) = 1 сходится к функции

Следует отметить, что хотя все функции
х„ (t) были непрерывны, функция x(t) разрывна. Это связано с тем, что пространство
непрерывных функций неполно относительно нормы ||x|[нормированное Л. п. наз. полным, если для любой последовательности {хего элементов, удовлетворяющих условию

существует в Л. п. такой элемент
х, что данная последовательность сходится к <нему, т.
е.

Если Л. п. неполно, то к нему можно
присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным.
Напр., пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой j|x|lполучают гильбертово пространство L²Л. п. наз. банаховыми, или В-п ространства- м и, - по имени изучившего
их основные свойства С. Банаха.

Обобщением понятия В-пространства
является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если:
1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством,
3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной
в Е топологии. К числу тополо- гич. Л. п. относятся все нормированные пространства.
А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости
топологич. Л. п.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С.
В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968;
Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд.,
М., 196.3-

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я