ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ дифференциальные
уравнения вида

где у = у(х) - искомая функция, у^т,
г/'""¹',...,;/'-её производные, а р\ (х), р(коэффициенты) и f(x) (свободный член)-заданные функции (см. Дифференциальные
уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в
1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно наз. линейным. Если f (х) = 0,
то уравнение (1) наз. однородным, в противном случае - неоднородным. Общее
решение г/его коэффициентов pk (х) выражается формулой:

где d, Cпостоянные и !/i(x), y-i (x),..., у(см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную
систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство
нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского {вронскиана)'.

Общее решение у = у(х) неоднородного
Л. д. у. (1) имеет вид:

где УН = уа(х) - общее решение соответствующего
однородного Л. д. у. и Y = Y(x) - частное решение данного неоднородного
Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:

где ун(х) - решения, составляющие
фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wft(x) - алгебраическое
дополнение элемента г/й'"¹') в определителе (2) Вроньского
W(x).

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны:
рк(х) = at,(k = l,2,...,n), то общее решение однородного уравнения выражается
формулой:

где

корни т. н. характеристического
уравнения:

nfe - кратности этих корней и С/",
Dks - произвольные постоянные.

Пример. Для Л. д. у.
характеристическое уравнение имеет вид:
Его корнями являются числа:

Следовательно, общее решение этого
уравнения
таково:

Системы Л. д. у. имеют вид:

Общее решение однородной системы
Л. д. у. [получаемой из системы (3), если все f-(x) = 0] даётся формулами:

где уц, унезависимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель
\yik(x)\ 0 хотя бы в одной точке).

В случае постоянных коэффициентов
pв виде:

где AJ, - неопределённые коэффициенты,
а \ь - корни характеристического уравнения

и тли - кратность этих корней. Полный
анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных
делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц]. Для решения Л. д.
у. и систем Л. д. у. с постоянными коэффициентами применяются также методы
операционного исчисления.

Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных
уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т.
2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные
дифференциальные уравнения,<3 изд., М., 1970.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я