ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ

ЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ обобщение
понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом
f на линейном нормированном пространстве Е наз. числовую функцию f(x),
определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x)
линейна, т. е.

где x и у - любые элементы из Е,
а. и р - числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию,
чтобы было
ограничено в Я; выражение
называют нормой f и обозначают \\f\\.

В пространстве С [а,Ь] функций a(t),
непоеоывных при а<"Ь, с нормойЛ.ф.
являются, напр.,

выражения:

В гильбертовом пространстве Н Л.
ф. суть скалярные произведения (/, x), где I - любой фиксированный элемент
пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.

Во многих задачах можно из общих
соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Напр.,
к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными
краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем
ана- литич. выражении Л. ф. в разных пространствах.

Совокупность всех Л. ф. данного пространства
Е превращается в_ линейное нормированное пространство Е, если определить
естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство
Е называют сопряжённым к Е; это пространство играет большую роль при изучении
Е.

С понятием Л. ф. связано понятие
слабой сходимости. Последовательность {xнормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу x, если

для любого Л. ф. f. См. также Функциональный
анализ.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я