ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА плоские
линии, декартовы прямоугольные координаты к-рых удовлетворяют алгеб- раич.
уравнению 2-й степени

Уравнение (*) может и не определять
действительного геометрия, образа, но для сохранения общности в таких случаях
говорят, что оно определяет м н и- м у ю Л. в. п. В зависимости от значений
коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью
параллельного переноса начала и поворота системы координат на нек-рый угол
к одному из 9 приведённых ниже канонических видов, каждому из к-рых соответствует
определённый класс линий. Именно, нераспадающиеся линии:

- эллипсы,

- гиперболы,

- параболы,

- мнимые эллипсы;

распадающиеся линии: _ пары пересекающихся
прямых,

- пары мнимых пересекаю
щихся прямых,

- пары параллельных прямых,

- пары мнимых параллель
ных прямых,

- пары совпадающих парал
лельных прямых.

Исследование вида Л. в. п. может
быть проведено без приведения общего уравнения к канонич. виду. Это достигается
совместным рассмотрением значений т. н. основных инвариантов Л. в. п. -
выражений, составленных из коэффициентов уравнения (*), значения к-рых
не меняются при параллельном переносе и повороте системы координат:

Так, напр., эллипсы, как нераспадающиеся
линии, характеризуются тем, что для них Д= 0; положительное значение инварианта
6 выделяет эллипсы среди других типов нераспадающихся линий (для гипербол
8 < О, для парабол S = 0). Различить случаи действительного или мнимого
эллипсов позволяет сопоставление знаков инвариантов Д и S: если Д и S разных
знаков, эллипс действительный; эллипс мнимый, если Д и S одного знака.

Три основные инварианта Д, 8 и S
определяют Л. в. п. (кроме случая параллельных прямых) с точностью до движения
евклидовой плоскости: если соответствующие инварианты Д, 8 и S двух линий
равны, то такие линии могут быть совмещены движением. Иными словами, эти
линии эквивалентны по отношению к группе движений плоскости (метрически
эквивалентны).

Существуют -классификации Л. в. п.
с точки зрения др. групп преобразований. Так, относительно более общей,
чем группа движений,- группы аффинных преобразований - эквивалентными являются
любые две линии, определяемые уравнениями одного канонич. вида. Напр.,
две подобные Л. в. п. (см. Подобие) считаются эквивалентными. Связи между
различными аффинными классами Л. в. п. позволяет установить классификация
с точки зрения проективной геометрии, в к-рой бесконечно удалённые элементы
не играют особой роли. Действительные нераспадающиеся Л. в. п.: эллипсы,
гиперболы и параболы образуют один проективный класс - класс действительных
овальных линий (овалов). Действительная овальная линия является эллипсом,
гиперболой или параболой в зависимости от того, как она расположена относительно
бесконечно удалённой прямой: эллипс пересекает несобственную прямую в двух
мнимых точках, гипербола - в двух различных действительных точках, парабола
касается несобственной прямой; существуют проективные преобразования, переводящие
эти линии одна в другую. Имеется всего 5 проективных классов эквивалентности
Л. в. п. Именно,

невырождающиеся линии (xi, ягj, хз
- однородные координаты):

- действительный овал,

- мнимый овал, вырождающиеся линии:

- пара действительных прямых,

- пара мнимых прямых,

- пара совпадающих действительных прямых.

Кроме аналитического способа определения
Л. в. п., то есть заданием уравнения, существуют и др. способы. Напр.,
эллипс, гипербола и парабола могут быть получены как сечения конуса плоскостью
- конические сечения.

Лит.: Александров П. С., Лекции по
аналитической геометрии..., М., 1968; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической
геометрии, 5 изд., М., 1960. А. Б. Иванов.