ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ

ЛОБАЧЕВСКОГО ГЕОМЕТРИЯ геометрическая
теория, основанная на тех же осн. посылках, что и обычная евклидова геометрия,
за исключением аксиомы о параллельных, к-рая заменяется на аксиому о параллельных
Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не
лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной
прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В Л. г. вместо неё принимается
след, аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней
мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие
её. Казалось бы, эта аксиома противоречит чрезвычайно привычным представлениям.
Тем не менее как эта аксиома, так и вся Л. г. имеет вполне реальный смысл
(о чём см. ниже). Л. г. была создана и развита Н. И. Лобачевским, к-рый
впервые сообщил о ней в 1826. Л. г. наз. неевклидовой геометрией, хотя
обычно термину "неевклидова геометрия" придают более широкий смысл, включая
сюда и др. теории, возникшие вслед за Л. г. и также основанные на изменении
осн. посылок евклидовой геометрии. Л. г. наз. специально гиперболической
неевклидовой геометрией (в противоположность эллиптической геометрии Римана)
(см. Неевклидовы геометрии, Римана геометрия).

Л. г. представляет теорию, богатую
содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Исто-
рич. её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал
возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху
в развитии геометрии и математики вообще (см. Геометрия). С современной
точки зрения можно дать, напр., следующее определение Л. г. на плоскости:
она есть не что иное, как геометрия внутри круга на обычной (евклидовой)
плоскости, лишь выраженная особым образом. Именно, будем рассматривать
круг на обычной плоскости (рис. 1) и внутренность его, т. е. круг, за исключением
ограничивающей его окружности, назовём "плоскостью". Точкой "плоскости"
будет точка внутри круга. "Прямой" будем называть любую хорду (напр., a,
b, b', MN) (с исключёнными концами, т. к. окружность круга исключена из
"плоскости"). "Движением" назовём любое преобразование круга самого в себя,
к-рое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры
внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда
оказывается, что любой геометрич. факт, описанный на таком языке, представляет
теорему или аксиому Л. г. Иными словами, всякое утверждение Л. г. на плоскости
есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам
внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома
о параллельных здесь явно не выполняется, т. к. через точку О, не лежащую
на данной хорде а (т. е. "прямой"), проходит сколько угодно не пересекающих
её хорд ("прямых") (напр., Ь, Ь'). Аналогично, Л. г. в пространстве может
быть определена как геометрия внутри шара, выраженная в соответствующих
терминах ("прямые" - хорды, "плоскости" - плоские сечения внутренности
шара, "равные" фигуры - те, к-рые переводятся одна в другую преобразованиями,
переводящими шар сам в себя и хорды в хорды). Т. о., Л. г. имеет совершенно
реальный смысл и столь же непротиворечива, как геометрия Евклида. Описание
одних и тех же фактов в разных терминах или, напротив, описание разных
фактов в одних и тех же терминах представляет характерную черту математики.
Она ясно выступает, напр., когда одна и та же линия задаётся в разных координатах
разными уравнениями или, напротив, одно и то же уравнение в разных координатах
представляет различные линии.

Возникновение геометрии Лобачевского.
Источником Л. г. послужил вопрос об аксиоме о параллельных, к-рая известна
также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное
приведённой выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов
в "Началах" Евклида). Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с
другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных
постулатов.

Вот неполный перечень учёных, занимавшихся
доказательством V постулата до 19 в.: др.-греч. математики Птолемей (2
в.), Прокл (5 в.) (доказательство Прокла основано на предположении о конечности
расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (кон. 10
- нач. 11 вв.) (Ибн аль- Хайсам пытался доказать V постулат, исходя из
предположения, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает
прямую линию), тадж. математик Омар Хайям (2-я пол. 11 - нач. 12 вв.),
азерб. математик Насирэддин Туей (13 в.) (Хайям и Насирэддин при доказательстве
V постулата исходили из предположения, что две сходящиеся прямые не могут
при продолжении стать расходящимися без пересечения), нем. математик К.
Клавий (Шлюссель, 1574), итал. математики П. Катальди (впервые в 1603 напечатавший
работу, целиком поев, вопросу о параллельных), Дж. Бо- релли (1658), Дж.
Витале (1680), англ, математик Дж. Валлис (1663, опубл. в 1693) (Валлис
основывает доказательство V постулата на предположении, что для всякой
фигуры существует ей подобная, но не равная фигура). Доказательства перечисленных
выше геометров сводились к замене V постулата др. предположением, казавшимся
более очевидным. Итал. математик Дж. Саккери (1733) сделал попытку доказать
V постулат от противного. Приняв предложение, противоречащее постулату
Евклида, Саккери развил из него довольно обширные следствия. Ошибочно признав
нек-рые из этих следствий приводящими к противоречиям, Саккери заключил,
что постулат Евклида доказан. Нем. математик И. Ламберт (ок. 1766, опубл.
в 1786) предпринял аналогичные исследования, однако он не повторил ошибки
Саккери, а признал своё бессилие обнаружить в построенной им системе логич.
противоречие. Попытки доказательства постулата предпринимались и в 19 в.
Здесь следует отметить работы франц. математика А. Лежандра; одно из его
доказательств (1800) основано на допущении, что через каждую точку внутри
острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла, т. е.,
как и все его предшественники, он заменил постулат др. допущением. Довольно
близко к построению Л. г. подошли нем. математики Ф. Швейкарт (1818)и Ф.
Тау- ринус (1825), однако ясно выраженной мысли о том, что намечаемая ими
теория будет логически столь же совершенна, как и геометрия Евклида, они
не имели. Вопрос о V постулате Евклида, занимавший геометров более двух
тысячелетий, был решён Лобачевским. Это решение сводится к тому, что постулат
не может быть доказан на основе др. посылок евклидовой геометрии и что
допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить
геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.
Лобачевский сделал об этом сообщение в 1826, а в 1829-30 напечатал работу
"О началах геометрии" с изложением своей теории. В 1832 была опубликована
работа венгерского математика Я. Болъяй аналогичного содержания. Как выяснилось
впоследствии, немецкий математик К. Ф. Гаусс также пришёл к мысли о возможности
существования непротиворечивой неевклидовой геометрии, но скрывал её, опасаясь
быть непонятым. Хотя Л. г. развивалась как умозрительная теория и сам Лобачевский
называл её "воображаемой геометрией", тем не менее именно Лобачевский рассматривал
её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений.
Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были
указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле,
логич. непротиворечивости.

Интерпретации (модели) геометрии
Лобачевского. Л. г. изучает свойства "плоскости Лобачевского"(в планиметрии)
и "пространства Лобачевского" (в стереометрии). Плоскость Лобачевского
- это плоскость (множество точек), в к-рой определены прямые линии, а также
движения фигур (вместе с тем - расстоя-' ния, углы и пр.), подчиняющиеся
всем аксиомам евклидовой геометрии, за исключением аксиомы о параллельных,
к-рая заменяется указанной выше аксиомой Лобачевского. Сходным образом
определяется пространство Лобачевского. Задача выяснения реального смысла
Л. г. состояла в нахождении моделей плоскости и пространства Лобачевского,
т. е. в нахождении таких объектов, в к-рых реализовались бы соответствующим
образом истолкованные положения планиметрии и стереометрии Л. г. (об интерпретации
вообще см. Геометрия, раздел Истолкования геометрии). Итал. математик Э.
Бельтрами в 1868 заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского
совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны,
простейший пример к-рых представляет псевдосфера (рис. 2). Если точкам
и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и
кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости
Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием,
т. е. деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме Л. г. будет отвечать
факт, имеющий место на псевдосфере. Т. о., Л. г. получает простой реальный
смысл. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естеств. измерения
их на псевдосфере. Однако здесь даётся интерпретация только геометрии на
куске плоскости Лобачевского, а не на всей плоскости и тем более не в пространстве
(в 1901 Д. Гильберт доказал даже, что вообще в евклидовом пространстве
не может существовать регулярной поверхности, геометрия на к-рой совпадает
с геометрией всей плоскости Лобачевского).

В 1871 Ф. Клейн указал ту модель
как всей плоскости, так и пространства Лобачевского, к-рая была описана
выше и в к-рой плоскостью служит внутренность круга, а пространством -
внутренность шара. Между прочим, в этой модели расстояние между точками
А и угол - ещё сложнее.

Позже А. Пуанкаре в связи с задачами
теории функций комплексного переменного дал др. модель. За плоскость Лобачевского
принимается внутренность круга (рис. 3), прямыми считаются дуги окружностей,
перпендикулярных окружности данного круга, и его | диаметры, движениями
-преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей,
дуги к-рых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней
углы изображаются обычными углами. Исходя из таких соображений, можно строить
модель Л. г. в пространстве.

Коротко модели Клейна и Пуанкаре
можно определить так. В обоих случаях плоскостью Лобачевского может служить
внутренность круга (пространством - внутренность шара), и Л. г. есть учение
о тех свойствах фигур внутри круга (шара), к-рые в случае модели Клейна
не изменяются при проективных, а в случае модели Пуанкаре - при конформных
преобразованиях круга (шара) самого в себя (проективные преобразования
есть те, к-рые переводят прямые в прямые, конформные - те, к-рые сохраняют
углы).

Возможно чисто аналитич. определение
модели Л. г. Напр., точки плоскости можно определять как пары чисел x,
у, прямые можно задавать уравнениями, движения - формулами, сопоставляющими
точкам (х, у) новые точки (x', у'). Это будет абстрактно определённая аналитич.
геометрия на плоскости Лобачевского, аналогично аналитич. геометрии на
плоскости Евклида. Т. к. Лобачевский дал основы своей аналитич. геометрии,
то тем самым он уже фактически наметил такую модель, хотя полное её построение
выяснилось уже после того, как на основе работ Клейна и других выявилось
само понятие о модели. Другое аналитич. определение Л. г. состоит в том,
что Л. г. определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной
кривизны (см. Рима- новы геометрии). Это определение было фактически дано
ещё в 1854 Б. Рима- ном и включало модель Л. г. как геометрии на поверхностях
постоянной кривизны. Однако Риман не связал прямо своих построений с Л.
г., а его доклад, в к-ром он о них сообщил, не был понят и был опубликован
лишь после его смерти (в 1868).

Содержание геометрии Лобачевского.
Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от осн. геометрич. понятий
и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрич. методом, подобно тому,
как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных
линий, т. к. именно здесь начинается отличие Л. г. от геометрии Евклида.
Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, общи обеим геометриям
и образуют т. н. абсолютную геометрию, к к-рой относятся, напр., теоремы
о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились др.
отделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной
геометрии. Приведём неск. фактов Л. г., отличающих её от геометрии Евклида
и установленных самим Лобачевским.

1) В Л. г. не существует подобных,
но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому
существует абсолютная единица длины, т. е. отрезок, выделенный по своим
свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким
отрезком может служить, напр., сторона правильного треугольника с данной
суммой углов.

2) Сумма углов всякого треугольника
меньше я и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно
видно на модели Пуанкаре. Разность я - (a -f- 3 + -у), где а, |3, 7 - углы
треугольника, пропорциональна его площади.

3) Через точку О, не лежащую на данной
прямой а, проходит бесконечно много прямых, не пересекающих а и находящихся
с ней в одной плоскости; среди них есть две крайние Ь, Ь', к-рые и наз.
параллельными прямой а в смысле Лобачевского. В моделях Клейна (Пуанкаре)
они изображаются хордами (дугами окружностей), имеющими с хордой (дугой)
a общий конец (к-рый по определению модели исключается, так что эти прямые
не имеют общих точек) (рис. 1,3). Угол а между прямой Ъ (или Ь') и перпендикуляром
из О на а - т. н. угол параллельности - по мере удаления точки О от прямой
убывает от 90° до 0° (в модели Пуанкаре углы в обычном смысле совпадают
с углами в смысле Лобачевского, и потому на ней этот факт можно видеть
непосредственно). Параллель Ь с одной стороны (а 6' с противоположной)
асимптотически приближается к а, а с другой - бесконечно от неё удаляется
(в моделях расстояния определяются сложно, и потому этот факт непосредственно
не виден).

4) Если прямые имеют общий перпендикуляр,
то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно
восстановить перпендикуляры, к-рые не достигают другой прямой.

5) Линия равных расстояний от прямой
не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.

6) Предел окружностей бесконечно
увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной
окружностью, или орициклом.

7) Предел сфер бесконечно увеличивающегося
радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или
орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это
служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

8) Длина окружности не пропорциональна
радиусу, а растёт быстрее.

9) Чем меньше область в пространстве
или на плоскости Лобачевского, тем меньше геометрич. соотношения в этой
области отличаются от соотношений евклидовой геометрии. Можно сказать,
что в бесконечно малой области имеет место евклидова геометрия. Напр.,
чем меньше треугольник, тем меньше сумма его углов отличается от я; чем
меньше окружность, тем меньше отношение её длины к радиусу отличается от
2я, и т. п. Уменьшение области формально равносильно увеличению единицы
длины, поэтому при безграничном увеличении единицы длины формулы Л. г.
переходят в формулы евклидовой геометрии. Евклидова геометрия есть в этом
смысле "предельный" случай Л. г.

Л. г. продолжает разрабатываться
многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники,
правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд
геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования
не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным
геометрич. идеям. В целом Л. г. является обширной областью исследования,
подобно геометрии Евклида.

Приложения геометрии Лобачевского.

Сам Лобачевский применил свою геометрию
к вычислению определённых интегралов. В теории функций комплексного переменного
Л. г. помогла построить теорию автоморфных функций. Связь с Л. г. была
здесь отправным пунктом исследований Пуанкаре, к-рый писал, что "неевклидова
геометрия есть ключ к решению всей задачи". Л. г. находит применение также
в теории чисел, в её геометрич. методах, объединённых под названием "геометрия
чисел" (см. Чисел теория). Была установлена тесная связь Л. г. с кинематикой
специальной (частной) теории относительности (см. Относительности теория).
Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения
света



при делении на t², т.
е. для скорости света, даёт - уравнение



сферы в пространстве с координатами



- составляющими скорости по осям
x, у, z (в "пространстве скоростей"). Лоренца преобразования сохраняют
эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей
в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей
внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет
место Л. г.

Замечательное приложение Л. г. нашла
в общей теории относительности (см. Тяготение). Если считать распределение
масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космич. масштабах
допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство
имеет Л. г. Т. о., предположение Лобачевского о его геометрии как возможной
теории реального пространства оправдалось.

Лит.: Лобачевский Н. И.. Сочинения
по геометрии, М.- Л., 1946-49 (Полн. собр. соч., т. 1-3); Об основаниях
геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию
ее идей, М., 1956; Александров П. С., Что такое неевклидова геометрия,
М., 1950; Д е л о н е Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости
планиметрии Лобачевского, М., 1956; Широков П. А., Краткий очерк основ
геометрии Лобачевского, М., 1955; Каган В. Ф., Лобачевский и его геометрия.
Общедоступные очерки, М., 1955; его же. Геометрия Лобачевского и ее предистория,
М.- Л., 1949 (Основания геометрии, ч. 1); Ефимов Н. В., Высшая геометрия,
5 изд., М., 1971; Погорелое А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968;
РозенфельдБ. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; Нут Ю. Ю., Геометрия
Лобачевского в аналитическом изложении, М., 1961; Андриевская М. Г., Аналитическая
геометрия в пространстве Лобачевского, К., 1963. А. Д. Александров.