ЛОГАРИФМ

ЛОГАРИФМ числа N по основанию
а, показатель степени т, в которую следует возвести число а (основание
Л.), чтобы получить N; обозначается logaN. Итак, т = logесли а™ = N. Напр., log.о 100 = 2; IogI =0, т. к. 100 =10², -32" = 2^-5, 1= а^О.
При отрицательных а бесконечно много положительных чисел не имело бы действительных
логарифмов, поэтому берётся а > 0 и а ?-. 1. Из свойств логарифмической
функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном
основании единств, действительный Л. (логарифмы отрицательных чисел являются
комплексными числами). Осн. свойства Л.:

.

позволяют сводить умножение и деление
чисел к сложению и вычитанию их Л., а возведение в степень и извлечение
корня - к умножению и делению Л. на показатель степени или корня, т. е.
к более простым действиям.

Когда основание а фиксировано, говорят
об определённой системе Л. В соответствии с десятичным характером нашего
счёта наиболее употребительны десятичные Л. (а = 10), обозначаемые lg N.
Для рациональных чисел, отличных от 10" с целым k, десятичные Л. суть трансцендентные
числа, к-рые приближённо выражают в десятичных дробях. Целую часть десятичного
Л. наз. х а- рактеристикой, дробную - мантиссой. Так как lg(10^feN)
= = k + lg-V, то десятичные Л. чисел, отличающихся множителем 10^й,
имеют одинаковые мантиссы и различаются лишь характеристиками. Это свойство
лежит в основе построения таблиц Л., которые содержат лишь мантиссы Л.
целых чисел (см. Логарифмические таблицы).

Большое значение имеют также н а-
туральные Л., основанием которых служит трансцендентное число е = 2,71828...;
их обозначают InN. Переход от одного основания Л. к другому совершается
по формуле log&N = = logaN/logab, множитель l/log.,6 наз. модулем перехода
(перевода) от основания а к основанию Ь. Для перехода от натуральных Л.
к десятичным или обратно имеем



Историческая справка. Открытие Л.
было связано в первую очередь с быстрым развитием астрономии в 16 в., уточнением
астрономич. наблюдений и усложнением астрономич. выкладок. Авторы первых
таблиц Л. исходили из зависимости между свойствами геометрич. прогрессии
и составленной из показателей степени её членов арифметич. прогрессии.
Эти зависимости, частично подмеченные ещё Архимедом (3 в. до н. э.), были
хорошо известны Н. Шюке (1484) и нем. математику М. Штифелю (1544). Первые
логарифмич. таблицы были составлены одновременно и независимо друг от друга
Дж. Непером (1614, 1619) и швейц. математиком Й.Бюрги(1620). Важный шаг
в теоретич. изучении Л. сделал белы, математик Григорий из Сен-Вин- цента
(1647), обнаруживший связь Л. и площадей, ограниченных дугой гиперболы,
осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление Л. бесконечным
степенным рядом дано Н. Мер- катором (1668), нашедшим, что



Вскоре затем Дж. Грегори (1668)
открыл разложение

Этот ряд очень быстро сходится, если
М -= N + 1 и N достаточно велико; поэтому он может быть использован для
вычисления Л. В развитии теории Л. большое значение имели работы Л. Эйлера.
Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению
в степень.

Термин "Л." предложил Дж. Непер;
он возник из сочетания греч. слов logos (здесь - отношение) и arithmos
(число); в антич. математике квадрат, куб и т.д. отношения а/6 наз. "двойным",
"тройным" и т. д. отношением. Т. о., для Непера слова "logu arithmos" означали
"число (кратность) отношения", то есть Л. у Дж. Непера - вспомогательное
число для измерения отношения двух чисел. Термин "натуральный логарифм"
принадлежит Н. Меркатору, "характеристика"- англ, математику Г. Бригсу,
"мантисса" в нашем смысле - Л. Эйлеру, "основание" Л. - ему же, понятие
о модуле перехода ввёл Н. Меркатор. Совр. определение Л. впервые дано англ,
математиком В. Гардинером (1742). Знак Л.- результат сокращения слова "Л."-
встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц
[напр., Log - у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log и 1. - Б. Каваль-
ери (1632, 1643)].

Лит.: Маркушевич А. И., Площади и
логарифмы, М.- Л., 1952; История математики, т. 2, М., 1970.