ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ функция,
обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается
(1)

её значение у, соответствующее значению
аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа x. В силу определения соотношение
(1) равносильно



(2) (е - неперово число). Т. к.



при любом действительном у, то Л.
ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. наз. функцию
где а >0



1) - произвольное основание логарифмов.
Однако в математич. анализе особое значение имеет функция In х; функция
loga х приводится к ней по формуле: гдеМ = 1/1п



а. Л. ф.- одна из осн. зле- ментарных
функций; её график (рис. 1) носит назв. л о- г а р и ф м и- к и. Осн. свойства
Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и лога
р и ф м о в; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению



Для -1 < х S. 1 справедливо разложение
Л. ф. в степенной ряд: Многие



интегралы выражаются через Л. ф.;
напр.



Л. ф. постоянно встречается в математич.
анализе и его приложениях.

Л. ф. была хорошо известна математикам
17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф.,
рассматривалась Дж. Непером (1614). Он представил зависимость между числами
и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым
(рис. 2). Одна из них (Y) движется равномерно, исходя из

С, а другая (X), начиная движение
из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если
положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dxldy = -kx, откуда



Л. ф. на комплексной плоскости является
многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях
аргумента 2 0, и обозначается Ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая
как

где arg г - аргумент комплексного
числа z, носит назв. главного значения Л. ф. Имеем

Все значения Л. ф. для отрицательных
действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная
теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), к-рый
исходил из определения