ЛОГИКА

ЛОГИКА (греч. logike'), наука
о приемлемых способах рассуждения. Слово "Л." в его совр. употреблении
многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч.
logos, от к-рого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются
три осн. аспекта: онтологический - "Л. вещей", т. е. необходимая связь
явлений объективного мира (Демокрит); гносеологический - "Л. знания", т.
е. необходимая связь понятий, посредством к-рой познаётся "сущность и истина"
(Платон), и демонстративный (доказательный), или собственно логический,
- "Л. доказательств и опровержений", т. е. необходимая связь суждений (высказываний)
в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность ("общезначимость")
к-рых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают
эти суждения "сущность и истину" или нет (Аристотель). Первые два аспекта
относятся к философии и диалектической логике, последний же аспект составляет
собственно логику, или современную Л. (к-рую вслед за И. Кантом иногда
наз. формальной Л.).

Исторически предмет (собственно)
Л. ограничивался своего рода "каталогизацией" правильных аргументов, т,
е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок
всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности
набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции, характерный
для т. н. т р а- диционной Л., ядро к-рой составляла силлогистика, созданная
Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет
традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя
и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции. Поскольку
последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности
таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной
индуктивно и Л.

Современная Л. является историч.
преемником традиционной Л. и в нек-ром смысле её прямым продолжением. Но
в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного
рода формализованных теорий логич. рассуждения - т. н. логич. "формализмов",
или логических исчислений, позволяющих сделать логич. рассуждения предметом
строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет
и метод современной логики). Отображение логич. мышления в логич. исчислениях
привело к более адекватному выражению идеи "логоса" как единства языка
и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие
20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных
"формализмов", приходится порой говорить о различных "стилях логического
мышления". М.М.Новосёлов.

История логики. Историч. основу совр.
Л. образуют две теории дедукции, созд. в 4 в. до н. э. др.-греч. мыслителями:
одна - Аристотелем, другая - его современниками и филос. противниками,
диалектиками мегарской школы. Преследуя одну цель - найти "общезначимые"
законы логоса, о к-рых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли
исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской
школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного,
но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие
до нас софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении "Топика"
в качестве доказывающего сформулировал осн. правило исчисления высказываний
- правило "отделения заключения" (разрешающее при истинности высказываний
"если Л, то В" и "Л" как истинное заключение "отделить" высказывание "В").
И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом "повинны"
в немалой степени софизмы мегариков, к-рые привели Аристотеля к поискам
логич. элементов речи в элементарной её единице - предложении. Именно на
этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл,
в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи - как утверждения
или отрицания "чего-либо о чём-то", определил "простое" высказывание как
атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и
объёмных отношений, аксиому и правила силлогизма. Аристотель создал весьма
ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию' - силлогистику,
реализующую в рамках Л. классов идею алгориф- мизации вывода заключении.
Аристотелевская силлогистика положила конец "силлогистике" мегариков, последним
представителем к-рой был Евбулид из Мил era, писавший против Аристотеля,
автор известных парадоксов "лжец", "лысый", "куча" и неск. софизмов. Др.
последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая,
что заключения "о присущем", выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются
в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары
ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования,
предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание
- импликация - истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились,
однако, в толковании понятия "следует". Согласно Диодору, В следует из
А, когда импликация А :э В ("если А, то В") необходима, так что нельзя
утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз
нет, если Л и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие
"В следует из Л" полностью определяется понятием материальной импликации,
к-рую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев
логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков.
Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л.,
но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым,
кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах.

Логич. идеи мегариков были ассимилированы
в филос. школе стоиков, основанной ок. 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы
был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и двузначности принцип
как онтологич. предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует
аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и
правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются
силлогизмами. Идея дедукции формулируется более чётко, чем у мегариков,
в виде след, предписания: условием формальной правильности заключения В
из посылок А±, А2, . . ., An является истинность импликации (А, & А& ... & Л„) гэ В. Аргументы, основанные на понимании высказываний
только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести
от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась
содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными.
Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно
как причины и следствия, аргументы наз. д о- казывающими. В общем случае
"доказывающие аргументы" стоиков предполагали понятие о естественных законах.
Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством
аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве
шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь "дедук- тивизм"
стоиков нашёл себе филос. противника в лице радикального эмпиризма школы
Эпикура - последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В
споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию, индукцию. Они положили
начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера
в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного
обобщения.

Эпикурейской "каноникой" заканчивается
история логич. мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность,
эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается
по существу переводч. и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков
(Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Термин, Александр Афродизийский,
Гален и др.) и неоплатоников (Порфирий, Прокл, Симпликий, Марий Викторин,
Апулей, Августин, Боэций, Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских
логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, дихотомическое
деление и объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации
Л. и Л. отношений у Галена, зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена
Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы
греческих текстов на латинский язык, в частности "Введения" Порфирия Ма-
рием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в "Органон", Боэцием.
(Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия
"субъект", "предикат", "связка", в терминах которых на протяжении многих
последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины
стоиков, заимствованной неоплатонизмом, Л. постепенно сближается с грамматикой.
В энциклопедии той эпохи -"Сатириконе" Марциана Капеллы - в качестве одного
из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного
образования.

Логич. мысль раннего европейского
средневековья (7-11 вв.), усваивавшего науч. наследие антич. мира сквозь
призму христианского сознания, в творч. отношении значительно беднее эллино-
римской. Как самостоят, наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры,
где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же
складывается в основном схо- ластич. Л. в собственном смысле - цер- ковно-школьная
дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования
и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12-13 вв., после того
как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает
оригинальная средневековая ("несхоластическая") Л., известная под назв.
logica modernorum. Контуры её намечены уже "Диалектикой" Абеляра, но окончательное
оформление она получает к кон. 13 - сер. 14 вв. в работах Уильяма Шервуда,
Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота, Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма
Оккама, Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов
впервые прослеживаются прообраз "универсума речи" и представление о двояком
использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины
"употребляются", и для выражения мысли о самом языке, когда термины "упоминаются"
(употребляются автоним- но). Учение о пропозициональных связках и кванторах,
символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием
для различения между "формой" и "содержанием" суждений. А в связи с задачей
однозначного "прочтения" синтаксич. структуры суждения ср.-век. логики
неявно используют и понятие "области действия" логических операций. Их
учение о "следовании" основывается на различии между материальной импликацией
и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать
контрпример, для второй - нет. Поэтому материальная импликация рассматривается
как выражение содержательного, или фактич., следования, а формальная -
логического. Ср.-век. логики открыли многие известные теперь законы Л.
высказываний, к-рая составляла основу их теории дедукции и к-рая, как и
у стоиков, считалась более общей, чем аристотелевская силлогистика. В этот
же период впервые зародилась идея машинизации процесса логического вывода
и были предприняты первые попытки её реализации (Р. Луллий).

Последующие два столетия -эпоха Возрождения-для
дедуктивной Л. были эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслительных
привычек схоластики, как Л. "искусственного мышления", освящающую схематизм
умозаключений, в к-рых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не познания.
Руководствуясь общим лозунгом эпохи: "вместо абстракций - опыт", дедуктивной
Л. стали противопоставлять Л. "естественного мышления", под к-рой обычно
подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон переоткрывают
античную идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой
силлогизма. И лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле (16 в.), пробуют
вернуть в методологию науч. мысли традиционную логич. дедукцию, предварительно
освободив её от схоластической философской интерпретации.

Книги Дзабареллы оказали заметное
влияние на положение Л. в 17 в. Уже у Т. Гоббса и П. Гассенди дедуктивная
Л. полностью освобождается от связи с теологией и перипатетич. философией.
Несколько раньше основатель точного естествознания Г. Галилей восстанавливает
права абстракции. Он обосновывает потребность в абстракциях, к-рые бы "восполняли"
данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций
в систему дедукции в качестве гипотез, или постулатов, или аксиом, с послед,
сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Критицизм в
отношении схоластики и одновременная реабилитация дедукции, правда, при
нек-ром снижении интереса к формальной стороне доказательств, характерны
для картезианской, т. е. опирающейся на методологич. идеи Р. Декарта, логики,
систематически изложенной в соч. А. Арно и П. Николя "Логика, или Искусство
мыслить" (1662), вошедшей в историю под назв. логики Пор- Рояля. В этой
книге Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики,
поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли.

Картезианская идея mathesis univer-
salis стала ведущей в Л. сер. 17 - нач. 18 вв. Особое место в её развитии
принадлежит Г. В. Лейбницу. Вслед за Р. Декартом, Т. Гоббсом и логиками
Пор-Рояля Лейбниц считал возможным создать "всеобщую символику", своеобразный
искусств, язык, к-рый был бы свободен от многозначностей, присущих естеств.
разговорным языкам, понимался без словаря и был бы способен точно и однозначно
выражать мысли. Такой язык мог бы играть роль вспомогат. междунар. языка,
а также служить орудием открытия новых истин из известных. Анализируя категории
Аристотеля, Лейбниц пришёл к идее выделения простейших исходных понятий
и суждений, к-рые могли бы составить "алфавит человеческих мыслей"; эти
первичные неопределяемые понятия, скомбинированные по определённым правилам,
должны давать все остальные точно определимые понятия. Лейбниц полагал,
что одновременно с таким анализом понятий можно создать универсальный алгоритм,
к-рый позволит провести доказательство всех известных истин и составить
тем самым "доказательную энциклопедию".

С целью реализации этого замысла
Лейбниц дал несколько вариантов а р и- фметизации логики. В одном из них
каждому исходному понятию сопоставляется простое число, каждому составному
- произведение простых чисел, сопоставленных исходным понятиям, образующим
данное составное (эта замечательная по своей простоте идея сыграла впоследствии
исключительно важную роль в математике и логике благодаря работам Г. Кантора
и К. Гёделя).

К Лейбницу же восходят многие методологически
важные фрагменты совр. Л. Так, большое значение он придавал проблеме тождества.
Принимая схоластич. принцип индивидуации (принцип "внутреннего различия"),
положенный им в основу монадологии, Лейбниц отказался от онтологизации
тождества, определяя тождество через сохраняющую истинность взаимозаменимость
в контексте и намечая тем самым путь к построению теорий тождества, основанных
на а б с т- ракции отождествления.

Хотя Лейбниц непосредственно не занимался
индуктивной Л., соответствующая проблематика вполне им учитывалась. В частности,
она нашла отражение в проводившемся им различении "истин разума" и "истин
факта"; для проверки истин разума, по Лейбницу, достаточно законов аристотелевской
Л.; для проверки истин факта, т. е. эмпирич. истин, нужен ещё (сформулированный
Лейбницем) достаточного основания принцип. В связи с этим Лейбниц рассматривал
поставленную Галилеем проблему подтверждения общих суждений о действительности
эмпирич. фактами, явившись тем самым одним из создателей теории т. н. гипотетико-дедуктивного
метода.

Исходным пунктом индуктивной Л. нового
времени служили методологические идеи Бэкона, но систематически эта логика
- Л., исследующая "обобщающие выводы" как заключения, основанные на установлении
причинной связи (см, Причинность) между явлениями,- была разработана Дж.
С. Миллем (1843), к-рый опирался, в свою очередь, на идеи Дж. Гершеля.
Развитая Миллем теория индуктивных умозаключений стала предметом разработки
и критики как в Л. 19 в., так и в Л. 20 в. (в частности, в работах рус.
логиков М. И. Карин- ского и Л. Б. Рутковского и статистика А. А. Чупрова).
При этом она была поставлена в связь с проблематикой теории вероятностей,
с одной стороны, и алгебры логики - с другой (начиная уже с работ У. С.
Джевонса). Индуктивная Л. 19 в., центральным вопросом к-рой был вопрос
о способах обоснования эмпирич. заключений о закономерных (регулярных)
связях явлений, в 20 в., с одной стороны, трансформировалась в вероятностную
логику, а с другой - вышла за пределы Л. в собственном смысле, приобретя
в существенно обогащённом виде новую жизнь в современной математич. статистике
и теории планирования эксперимента.

Индуктивная Л. не была, однако, главной
линией развития логич. мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной
- математической - логи-. ки, истоки к-рой были заключены уже в соч. Лейбница.'
Хотя большая часть логич. наследия последнего оставалась неопубликованной
до нач. 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние
на развитие алгебро- логич. методов в Л., в процессе к-рого уже в 19 в.
в трудах О. де Моргана, Дж. Буля, нем. математика Э. Шредера, П. С. Порецкого
и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода
к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера,
на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л.

Центральной фигурой этого "алгебро-
логического" этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л.
(термин "алгебра логики" был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для
того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле.
Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметич.
операции, в том числе вычитание и деление, к-рые оказалось трудно истолковать
логически.Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как логика
классов, т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована
Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса
мы уже встречаем ту алгебраич. систему, к-рая впоследствии получила название
"булевой алгебры" (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию,
соответствующую исключающему логич. союзу "или", т. е. строгую дизъюнкцию,
а не распространённую в современной Л. "обычную", слабую, дизъюнкцию, "булевой
алгебры" непосредственно не было). Строгие методы решения логич. уравнений
были предложены Шредером (1877) и Порецким (1884). Многотомные "Лекции
по алгебре логики" (1890-1905) Шредера (вместе с работами Порецкого вплоть
до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.

История алгебры Л. началась с попыток
перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали
сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса.
Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с
алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические)
методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических
фигур владели антич. комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью
кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру, было из- ! вестно ещё И. К. Штурму
(1661) и Лейб- ^: ницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами.
Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта
и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж.
Вечна, разработавшего гра- фич.'аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы),
фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный,
но и эвристич. характер.

К кон. 19 в. в дедуктивной Л. произошёл
глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано, Пирса и Г. Фреге, к-рые
преодолели узость чисто алгебра- ич. подхода прежних авторов, осознали
значение математич. Л. для матема- ' тиков и начали применять её к вопросам
оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности
связанные с аксиоматич. построением Л., в наиболее чёткой форме молено
проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы "Исчисление понятий"
(1879), он развил совершенно строгое аксиоматич. построение исчисления
высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все осн. элементы
совр. логич. исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний),
предметные перемен- н ы е, кванторы (для к-рых он ввёл спец. символы) и
предикаты; он подчёркивал различие между логическими законами и правилами
логич. вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда,
особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык), Его исследования
(так же как аналогичные работы Пирса) в области логич. структуры естеств.
языка и семантики логич. исчислений положили начало проблемам логической
семантики. Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной
арифметики, основанной на развитой им логике предикатов. Эти работы Фреге
и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития
современной теории математического доказательства.

Фреге употреблял оригинальную символику,
к-рая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она
не привилась). Совр. система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной
Дж. Пеано. С нек-рыми изменениями она была воспринята Б. Расселом, создавшим
совместно с А. Н. Уайт- хедом трёхтомный труд "Принципы математики" - труд,
систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиома- тич. построение
Л. в целях логич. обоснования математич. анализа (см. Логицизм).

С этого сочинения я начавших появляться
с 1904 работ Д. Гильберта по математич. Л. естественно датировать начало
совр. этапа логич. исследований. М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В.
Бирюков.

Предмет и метод современной логики.
Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математич. методы.
Она стала, по словам Порецкого, м а- тематической логикой - Л. по предмету,
математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной
постановки и решения логич. проблем математики, в особенности проблем,
связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математич.
теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения
понятия доказательства. Всякое математич, доказательство состоит в последоват.
применении тех или иных логич. средств к исходным положениям. Но логич.
средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного.
Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; "...практическая
деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека
к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение
аксиом" (Ленин В. И., Поли. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая
практика является, однако, на каждом ист. этапе ограниченной, а объём её
всё время растёт. Логич. средства, удовлетворительно отражавшие практику
человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться
неподходящими на след, этапе или в другой области. Тогда в зависимости
от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его
рассмотрения - изменяются логич. средства. Это в особенности относится
к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно
бессмысленно говорить о логич. средствах как о чём-то данном в своей совокупности,
как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логич. средств,
применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике.
Их установление для к.-л. данной математич. теории и составляет искомое
уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность
этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи
с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию, исследователи
столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из
них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883),
к к-рой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема). Другие
проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н.
дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой сов. математиками.
Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет
логич. природу, что эта трудность обусловлена неполной выявлен- ностыо
применяемых логич. средств и что единств, путём к её преодолению является
уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует
привлечения новой математич. науки - математической логики. Надежды, возлагавшиеся
на математич. Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности
это касается проблемы континуума, к-рая может считаться полностью решённой
благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал
совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории
множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же
предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории
множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены
П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств.
Уточнение понятия доказательства в математич. теории путём установления
допускаемых логич. средств является существенным этапом её развития. Теории,
прошедшие этот этап, наз. дедуктивными теориями. Лишь для них допускают
точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости.

Для решения этих проблем в совр.
Л. применяется метод формализации доказательств - один из основных её методов.
Сущность его состоит в следующем.

Формулировки теорем и аксиом развиваемой
теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая
символика, пользующаяся, наряду с обычными математич. знаками, знаками
для логич. связок, применяемых в математике: "... и ...", "... или ...",
"если ..., то ...", "неверно, что ...", "при всяком ...", "существует ...
такой, что ...". Всем логич. средствам, с помощью к-рых теоремы выводятся
из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных.
Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений
нет надобности вникать в смысл формул, к к-рым они применяются, и формулы,
получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены
из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается
в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул,
в конце к-рого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула
либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих
формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может
быть построен её вывод.

Если сопоставление правил вывода
применяемым логич. средствам было произведено надлежащим образом, то получают
возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости
выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной
формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций,
и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.

Идея метода формализации доказательств
принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным
благодаря предшествовавшей разработке математич. Л. (см. раздел История
логики).

Применение идеи формализации доказательств
бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной
теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде нек-рого
исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода,
может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.

Простейшими из логич. исчислений
являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них
употребляются след, знаки: 1) т. н. логические переменные -буквы А, В,
С, . . . , означающие произвольные "высказывания" (смысл этого термина
объясняется ниже); 2) знаки логич. связок



означающие соответственно "... и
...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ..."; 3) скобки,
выявляющие строение формул.

Формулами в этих исчислениях считаются
логич. переменные и всякие выражения, получаемый из них путём повторного
применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению
знака



слева, 2) написание двух ранее построенных
выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков


или между
ними и с заключением всего в скобки. Напр., следующие выражения являются
формулами:



В обоих исчислениях высказываний
- классическом и интуиционистском - употребляются одни и те же правила
вывода.

Правило подстановки. Из формулы выводится
новая формула путём подстановки всюду вместо к.-л. логич. переменной произвольной
формулы.

Правило вывода заключений. Из формул



выводится формула

Эти правила отражают обычные способы
рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных
посылок.

Различие между двумя исчислениями
высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классич.
исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются все формулы 1-11,
в интуиционистском исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул
принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключённого
третьего (см. ниже), оказывается невыводимой в интуиционистском исчислении.
Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний,
выведем в интуиционистском исчислении формулу

выражающую закон противоречия.

Применим правило подстановки к аксиомам
3 и 4, подставив в них формулу
вместо переменной В:

Подставив затем



в аксиому 10 формулу



вместо А, получим

Подставив



далее в формулу (3) формулу А вместо
переменной В, получим

Применив



к формулам (1) и (4) правило вывода
заключений, получим

Применив,



наконец, правило вывода заключений
к формулам (2) и (5), полу-

чим формулу



к-рая, т. о., выводима в интуиционистском
исчислении высказываний.

Формальное различие двух исчислений
высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся
смысла логич. переменных, т. е. самого понимания термина "высказывание".
При общепринятом истолковании классич. исчисления высказываний этот термин
понимается примерно как "суждение" в смысле Аристотеля (см. Суждение).
Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка
произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логич. переменных в формулу
даёт нек-рую логич. комбинацию этих суждений, рассматриваемую также как
суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно
истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логических переменных,
согласно следующим определениям смысла логических связок.

Суждение вида



наз. конъюнкцией суждений Р и О.
есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда
ложно хотя бы одно из них. Суждение вида



наз. дизъюнкцией суждений Р и О.
^есть
суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное,
когда ложны оба. Суждение вида



наз. импликаци- е и суждений Р и
О, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно О. и истинное во всех
остальных случаях. Суждение вида



наз. отрицанием суждения Р, есть
суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.

Необходимо отметить, что, согласно
данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским
словоупотреблением связки "если..., то...". Однако в математике эта связка
обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая
теорему вида "если Р, то Q", где Р и О суть нек-рые математич. суждения,
математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность
О- Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана
ложность Р или истинность О будет доказана и без предположения об истинности
Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность
Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением
импликации



Необходимо также подчеркнуть принятое
в математич. Л. неисключающее понимание дизъюнкции. Дизъюнкция



по определению, истинна и в том
случае, когда истинны оба суждения Р и О- Формула



наз. классически общезначимой, если
истинно всякое суждение, получаемое из 21 в результате подстановок любых
суждений вместо логич. переменных. Классически общезначимой является, напр.,
формула 11. Её общезначимость есть не что иное, как закон исключённого
третьего в следующей форме: "если одно из двух суждений есть отрицание
другого, то хотя бы одно из них верно". Этот закон выражает основное свойство
суждений: быть истинным или ложным. Обычную формулировку этого закона,
включающую и закон противоречия, см. в ст. Исключённого третьего принцип.

Нетрудно проверить, что и все аксиомы
1-11 классически общезначимы и что правила вывода в применении к классически
общезначимым формулам дают лишь классически общезначимые формулы. Отсюда
следует, что все выводимые формулы классического исчисления высказываний
классически общезначимы. Обратное также имеет место: всякая классически
общезначимая формула выводима в классическом исчислении высказываний, в
чём состоит полнота этого исчисления.

Иная трактовка логич. переменных
лежит в основе интуиционистского истолкования исчисления высказываний.
Согласно этой трактовке, всякое математич. высказывание требует проведения
нек-рого математич. построения с нек-ры- ми заданными свойствами. Высказывание
можно утверждать, коль скоро это построение выполнено. Конъюнкцию



двух высказываний Л и В можно утверждать
тогда и только тогда, когда можно утверждать как А, так и В.

Дизъюнкцию



можно утверждать тогда и только
тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний А и В. Отрицаниевысказывания
А можно утверждать тогда и только <тогда, когда у нас есть построение,
приводящее к противоречию предположение о <том, что построение, требуемое
высказыванием А, выполнено. (При этом "приведение к противоречию" считается
первоначальным понятием.) Импликацию



можно утверждать тогда и только
тогда, когда мы располагаем таким построением, к-рое, будучи объединено
с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое
высказыванием В.

Формула



наз. интуиционистски общезначимой
тогда и только тогда, когда можно утверждать всякое высказывание, получаемое
из 21 в результате подстановки любых математич. суждений вместо логич.
переменных; точнее говоря, в том случае, когда имеется общий метод, позволяющий
при произвольной такой подстановке получать построение, требуемое результатом
подстановки. При этом понятие общего метода интуиционисты также считают
первоначальным .

Формулы 1-10 являются интуиционистски
общезначимыми, тогда как формула И, выражающая классич. закон исключённого
третьего, не является таковой.

В известном отношении близкой к интуиционизму
является точка зрения конструктивной математики, уточняющая несколько расплывчатые
интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия
алгоритма. С этой точки зрения закон исключённого третьего также отвергается.
Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.

С методом формализации доказательств
связано понятие формальной системы. Формальная система включает след, элементы.

1. Формализованный язык с точным
синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных
выражений, наз.ф ормулами данного языка.

2. Чёткую семантику этого языка,
состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия
их истинности.

3. Исчисление (см. выше), состоящее
из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики
эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным
формулам давать верные формулы. Исчисление определяет выводы (см. выше)
и выводимые формулы - заключительные формулы выводов. Для выводов имеется
распознающий алгоритм - единый общий метод, с помощью которого для любой
цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она
выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен
(примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов).

Об исчислении говорят, что оно н
е- противоречиво, если в нём не выводима никакая формула 21 вместе с формулой
П 21. Задача установления непротиворечивости применяемых в математике исчислений
является одной из главных задач математич. Л. Имея в виду охват той или
иной содержательно определённой области математики, исчисление считают
полным относительно этой области, если в нём выводима всякая формула, выражающая
верное утверждение из этой области. Другое понятие полноты исчисления связано
с требованием иметь для всякого утверждения, формулируемого в данном исчислении,
либо его доказательство, либо его опровержение. Первостепенное значение
в связи с этими понятиями имеет теорема Гёделя, утверждающая несовместимость
требований полноты с требованием непротиворечивости для весьма широкого
класса исчислений. Согласно теореме Гёделя, никакое непротиворечивое исчисление
из этого класса не может быть полным относительно арифметики: для всякого
такого исчисления может быть построено верное арифметич. утверждение, формализуемое,
но не выводимое в исчислении. Эта теорема, не снижая значения математич.
Л. как мощного организующего средства в науке, убивает надежды на эту дисциплину
как на нечто способное осуществить охват математики в рамках одной формальной
системы. Надежды такого рода высказывались многими учёными, в том числе
основоположником математического формализма Гильбертом.

В 70-е гг. 20 в. получила развитие
идея полуформальной системы. Полуформальная система - это также система
некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно
иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут
допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось
убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи
с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного
из совр. построений логики конструктивной математики. В приложениях математич.
Л. часто применяются исчисления предикатов - классическое и интуиционистское.

Математич. Л. органически связана
с кибернетикой, в частности с математич. теорией управляющих систем и математической
лингвистикой. Приложения математич. Л. к релейно-контактным схемам основаны
на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в след, смысле
моделирует нек-рую формулу 21 классич. исчисления высказываний. Если схема
управляется п реле, то столько же различных пропозициональных переменных
содержит И, и если обозначить через Si суждение "Реле номер i сработало",
то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат
подстановки суждений 23( вместо соответствующих логич. переменных в 21.
Построение такой моделируемой формулы, описывающей "условия работы" схемы,
оказывается особенно простым для т. н. П - с х е м, получаемых из элементарных
одноконтактных цепей путём параллельных и последоват. соединений. Это связано
с тем, что параллельные и последоват. соединения цепей моделируют соответственно
дизъюнкцию и конъюнкцию суждений. Действительно, цепь, полученная путём
параллельного (последовательного) соединения цепей Цтогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь U,i или (и) замкнута
цепь Цсхемам открыло плодотворный подход к важным проблемам совр. техники. Это
же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и
трудных проблем математич. Л., к числу к-рых в первую очередь относится
т. н. п р о- б л е м а минимизации, состоящая в разыскании эффективных
методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.

Релейно-контактные схемы являются
частным случаем управляющих схем, применяемых в совр. автоматах. Управляющие
схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых
элементов, имеющие ещё большее практич. значение, также могут быть разрабатываемы
с помощью математич. Л., к-рая доставляет адекватные средства как для анализа,
так и для синтеза таких схем. Язык математич. Л. оказался также применимым
в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики.
Наконец, созданный математич. Л. аппарат исчислений оказался применимым
в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами.
А. А.Марков.

Научные учреждения и издания. Преподавание
и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и
культурной жизни большинства стран мира. В СССР н.-и. работа в области
Л. ведётся в основном в н.-и. центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска,
Киева, Кишинёва, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями
математич. ин-тов АН СССР и союзных республик, ин-тами философии, кафедрами
Л. ун-тов и нек-рых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются:
в непе- риодич. изданиях в форме тематич. сборников и монографий (в частности,
начиная с 1959 в серии "Математическая логика и основания математики"),
в непе- риодич. изданиях "Трудов Математич. ин-та им. В. А. Стеклова АН
СССР" (с 1931), в сборниках "Алгебра и логика" (Новосибирск, с 1962), в
"Записках" науч. семинаров по Л., в математич. и филос. журналах. В реферативном
журн. "Математика" и в реферативных журналах Ин-та научной информации по
обществ, наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и за_рубеж-
ных авторов по Л. Из спец. зарубежных изданий, освещающих проблематику
Л., наиболее известны: международная монография, серия "Studies in Logic..."
(Amst., с 1965) и журналы: "The Journal of Symbolic Logic" (Providence,
с 1936); "Zeit- schrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik"
(В., с 1955); "Archiv fur mathematische Logik und Grundlagenforschung"
(Stuttg., с 1950); "Logique et analyse" (Louvain, с 1958); "Journal of
philosophical logic" (Dordrecht, с 1972); "International logic review"
(Bologna, с 1970); "Studia Logica"(Warsz., с 1953); "Notre Dame Journal
of formal Logic" (Notre Dame, с I960).

Осн. организац. работу, связанную
с обменом науч. информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой
ООН Лссо1..;иаи,ия символической логики. Ассоциация организует междунар.
конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся
в 1960 в Станфорде (США), второй - в 1964 в Иерусалиме, третий - в 1967
в Амстердаме, четвёртый - в 1971 в Бухаресте. 3. А. Кузияева, М. М. Новосёлов.

Лит.: Основные классические работы.
Аристотель, Аналитики первая и вторая, пер. с греч., М-, 1952; L е i b-
n iz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем..
П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной,
пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus
of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926);
Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus
of deductive reasoning, L.- Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schroder
E., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G.. Begriffsschrift,
eine der arithmetischen nachge- bildete Formelsprache des reinen Denkens,
Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки. Трактат о логике и научном методе,
пер. с англ., СПБ, 1881; П о р е ц к и и П. С., О способах решения логических
равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead
A. N.. Russell В., Principia mathematica, 2 ed.,. v. 1-3, Camb., 1925-27.

История. Владиславлев М., Логика,
СПБ, 1872 (см. "Приложение"); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием
на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах,
т. 1 - 3, М., 1885 - 88; Яновская С. А., Основания математики и математическая
логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М.- Л., 1948; её же,
Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР
за сорок лет, т. 1, М., 1959; П о п о в П. С., История логики нового времени,
М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер.
с польск., М., 1963, с. 353-606; Стяжкин Н. И., Формирование математической
логики, М.,. 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlan.de, Bd 1-4,
Lpz., 1855 - 70; Bochenski I. M., Formale Logik, Munch.. 1956;Minio Paluello
L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1-2, Roma, 1956 - 58;
ScholzH., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg - Munch., 1959;. Lewis
C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; I 0 r g e n s e n J., A
treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation
to mathematics and philosophy, v. 1-3, N. Y., 1962; К n e a 1 e W., Kneale
M., The development of logic.. 2 ed., Oxf., 1964; D u m i t r i u A., Istoria
Iqgicii, Buc., 1969; В 1 a n с h e R., La lo- gique et son histoire. D'Aristote
a Russell, P., 1971; BerkaK., К r e i s e r L., Logik - Texte. Kommentierte
Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, В., 1971.

Учебные курсы. Гильберт Д., А к-
к е р м а н В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Таре
кий А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ.,
М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Ч ё
р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960;
Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Г ж е- горчик
А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск.,
М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ.,
М., 1971; М а р к о в А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.

Некоторые монографии. К л и н и С.
К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; ГейтингА., Интуиционизм,
пер. с англ., М., 1965; К а р р и X. Б., Основания математической логики,
пер. с англ., М., 1969; HilbertD., В е г- nays P., Grundlagen der Mathematik,
Bd 1-2, В., 1934-39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique
de la mathe- matique constructive, Brux., 1971.

Энциклопедии и словари. Философская
энциклопедия, т. 1 - 5, М., 1960-70; Кондаков Н. И., Логический словарь,
М., 1971; Encyclopedia of Philosophy,v. 1-8, N.Y., 1967; Mala encyklopedia
Logiki, Wroctaw - Warsz.- Krakow, 1970.

Библиография. Примаковский А. П.,
Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам
логики, изданных на русском языке в СССР в 18-20 вв., М., 1955; И вин А.
А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960-
1966), "Вопросы философии", 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic
logic, "The Journal of Symbolic Logic", 1936, v. 1, № 4; е г о ж е, Additions
and corrections to "A bibliography of symbolic logic", там же, 1938, v.
3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften,
Bern, 1948 (Bibliog- raphische Einfuhrung in das Studium der Philosophic,
Bd 3); Brie G. A. de, Biblio- graphia Philosophica. 1934-1945, Bd 1-2,
Brux.,_ 1950-54; Kung G., Bibliography of soviet works in the field of
mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917 - 1957,
"Notre Dame Journal of F9rmal Locic", 1962, >fe 3; H a n g g i J., Bibliographie
der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.