ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ раздел
математич. логики, изучающий логич. законы, общие для любой области объектов
исследования (содержащей хоть один объект) с заданными на этих объектах
предикатами (т. е. свойствами и отношениями). В результате формализации
Л. п. принимает вид различных исчислений. Простейшими логич. исчислениями
являются исчисления высказываний. В более сложных исчислениях предикатов
описываются логич. законы, связывающие объекты исследования с отношениями
между этими объектами.

В классичееком исчислении предикатов
употребляются следующие знаки: 1) т, н. предметные переменные - буквы х,
у, г, . . ., к-рые содержательно рассматриваются как неопределённые имена
объектов исследования теории; 2) предикатные переменные - знаковые комплексы
вида



<(т, п, I - натуральные числа),
причём, напр.,



означает произвольное п-мест- ное
отношение между объектами; 3) знаки для логич. связок: конъюнкции



дизъюнкции



импликации



отрицания



означающие соответственно "... и
...", "... или ...", "если ..., то ...", "неверно, что ...";

4) знаки для кванторов



(квантор всеобщности),



(квантор существования), означающие
соответственно "для всех ..." и "существует ... такое, что ...";

5) запятая, скобки (для уточнения
строения формул). Если



есть n-местная предикатная переменная,
a x1, . . ., х„ - предметные переменные, то выражение



(Xпо определению, атомарная (элементарная) формула. Индекс п у предикатной
переменной в атомарной формуле обычно опускается. Содержательно О (xi,
. . ., x. . ., xформулы, а также выражения, получаемые из них посредством следующих операций
образования новых формул из уже полученных: 1) если

-
формулы, то



- также формулы; 2) если-
формула и x - предметная переменная, то


- формулы. Определением формулы заканчивается описание языка исчисления
предикатов.

Вхождение предметной переменной x
в формулу

наз.
связанным, если x входит в часть

вида


или или стоит
непосредственно после знака квантора. Несвязанные вхождения переменной
в формулу наз. свободными. Если найдётся хоть одно свободное вхождение
х в

то
говорят, что переменная x входит свободно в

или
является параметром ф. Интуитивно говоря, формула


с параметрами выражает нек-рое условие, к-рое превращается в конкретное
высказывание, если (конкретизировав предварительно область объектов) приписать
определённые значения входящим в формулу параметрам и предикатным буквам.
Связанные же переменные не имеют самостоят, значения и служат (вместе с
соответствующими кванторами) для обозначения общих утверждений или утверждений
существования. Если-
формула, a x и у - предметные переменные, то через


будет обозначаться результат замещения всех свободных вхождений x в ф на
у (а если при этом у оказалось на месте х в части формулы вида


или

то следует дополнительно заменить
все связанные вхождения у в эту часть на переменную, не входящую в Ф; это
делается для того, чтобы не допустить искажения смысла при замене x на
у).

Пусть - произвольные формулы, а х



и у - предметные переменные. Тогда
формулы след, видов принимаются в качестве аксиом классич. исчисления предикатов:

В исчислении предикатов употребляются
след, три правила вывода. 1) Правило вывода заключений: из формули
выводится формула

Два кванторных правила вывода: 2)
из формулы


где не содержит
свободно х, можно вывести


3) из формулы


где не
содержит свободно х, можно вывести

В отличие от др. формулировок исчисления
(см., напр., Логика, раздел Предмет и метод современной логики), здесь
Ф, ij) и п не принадлежат языку рассматриваемого исчисления, а обозначают
его произвольные формулы; поэтому каждая из записей 1 - 13 есть аксиомная
схема, "порождающая" при подстановке вместо греч. буквы нек-рую конкретную
аксиому; спец. правил подстановки при этой формулировке не надо.

Интуиционистское исчисление предикатов
отличается от классического лишь тем, что закон исключённого третьего (аксиома
11) исключается из числа аксиом. Различие двух исчислений отражает различие
в их истолкованиях. Истолкование логич. связок



в исчислениях предикатов таково
же, как и в соответствующих исчислениях высказываний. Что касается истолкования
кванторов, то в классич. исчислении предикатов кванторы трактуются с точки
зрения актуальной бесконечности. Точнее, каждая формула получает значение
"истина" или "ложь", если определить модель исчисления предикатов, т. е.
определить множество объектов, приписать каждой предикатной букве формулы
нек-рое отношение на этом множестве и приписать всем параметрам формулы
нек-рые объекты в качестве значений. Формула наз. классически общезначимой,
если она в любой модели принимает значение "истина". Как показал К. Гёделъ,
в классич. исчислении предикатов выводимы все классически общезначимые
формулы, и только они. Эта теорема Гёделя и представляет собой точное выражение
идеи формализации логики: в классич. исчислении предикатов выводятся все
логич. законы, общие для всех моделей.

В интуиционистском же истолковании
утверждение, что нек-рая формула истинна, требует проведения нек-рого мате-
матич. построения. Напр.,



истинно с интуиционистской точки
зрения, только если имеется общий метод, позволяющий находить для каждого
х соответствующее у. Истинность



предполагает наличие метода для
определения истинного члена дизъюнкции



для каждого значения параметра х.
Напр., классически общезначимые формулы, выражающие закон исключённого
третьего



или закон пронесения отрицания через
всеобщность



интуиционистски необщезначимы (теория
моделей развивается, однако, и для интуиционистского исчисления предикатов
).

Л. п. является обычным базисом для
построения логич. исчислений, предназначенных для описания тех или иных
дисциплин (прикладных исчислений). С этой целью язык исчисления предикатов
"конкретизируется": к нему добавляют предикатные символы и знаки операций,
выражающие специфич. отношения и операции рассматриваемой дисциплины. Напр.,
если мы стремимся описать истинные суждения арифметики натуральных чисел,
то можно добавить операции сложения, умножения, отношение делимости и т.
п. Затем, кроме аксиом и правил вывода исчисления предикатов (логических
постулатов), в исчисление вводятся аксиомы, выражающие специфич. законы
изучаемого предмета (прикладные, специфич. аксиомы). Таким образом строится,
напр., формальная арифметика.

Помимо классич. и интуиционистского
исчислений предикатов, имеются и др. логич. системы, описывающие логич.
законы, выразимые иными логич. средствами или с иных методологич. позиций.
Сюда относятся исчисления модальной логики, вероятностной логики, индуктивной
логики и др.

Лит.: К л и н и С. К., Введение в
метаматематику, пер. с англ., М., 1957. А. Г. Драгалин.