ЛОГИЦИЗМ
направление в основаниях
математики и философии математики, основным тезисом к-рого является утверждение
о "сводимости математики к логике", т. е. возможности (и необходимости)
определения всех исходных математич. понятий (в рамках самой математики
не определяемых) в терминах "чистой" логики и доказательства всех математич.
предложений (в том числе аксиом) опять- таки логич. средствами. Идеи Л.
были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем, но в развёрнутом виде эта доктрина
впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математич.
понятия - понятия натурального числа- к объёмам понятий и детально разработавшим
логич. систему, средствами к-рой удавалось доказать все теоремы арифметики.
Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа
по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математич. анализа,
геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг
к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории), то, как считал
Фреге, логицистич. программа была тем самым в основном выполнена. Но ещё
до выхода в свет 2-го тома работы Фреге "Основные законы арифметики" (1893-1903)
Б. Рассел обнаружил в системе Фреге противоречие (называемое обычно парадоксом
Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы
Л.; он предпринял попытку "исправления" системы Фреге и "спасения" её от
противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последо-
ват. и детальной формализации не только математики, но и кладущейся в её
основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный
Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд "Principia Mathematica"
(1910-13). Главным новшеством системы Рассела - Уайтхеда (ниже РМ) явилось
построение логики в виде "ступенчатого исчисления", или "теории типов".
Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта
"иерархия типов" (а в др. модификациях системы РМ - ещё дополнит. "иерархия
уровней") позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для
построения классич. математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить
нек-рые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные
свойства данного конкретного "мира математики" (и, конечно, соответствующего
ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся "аналитич. истинами", или,
по Лейбницу, истинами, верными "во всех возможных мирах". Итак, не вся
расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика
и не есть вся математика: как показал К. Гёделъ (1931), системы типа РМ
(и все, не уступающие им по силе) существенно неполны - их средствами всегда
можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые
и не опровержимые) математич. утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика).
Т. о., программа Л. "чисто логического"
обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты
Рассела, и работы др. учёных, предложивших позднее различные усовершенствования
системы РМ (напр., работы амер. математика У. ван О. Куайна), оказали громадное
положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом,
способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических
и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического
аппарата.
Лит.: К л и н и С. К., Введение в
метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел
И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3. Ю. А. Гостев.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я