ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
л о г
и- ческие связки, логические операторы, функции, преобразующие высказывания
или пропозициональные формы (т. е. выражения логики предикатов, содержащие
переменные и обращающиеся в высказывания при замене последних к.-л. конкретными
их значениями) в высказывания или пропозициональные формы. Л. о. можно
разделить на две осн. группы: кванторы и пропозициональные (сентенциональные)
связки. Кванторы играют для формализованных языков матем. логики ту же
роль, к-рую играют для естественного языка т. н. "количественные" ("кванторные")
слова: "все", "любой", "некоторый", "существует", "единственный", "не более
(менее) чем", количественные числительные и т. п. Характерной особенностью
кванторов является - в случае нефиктивного их применения - понижение числа
свободных переменных в преобразуемом выражении: применение квантора к выражению,
содержащему n свободных переменных, приводит, вообще говоря, к выражению,
содержащему n - 1 свободную переменную, в частности, пропозициональную
форму с одной свободной переменной применение квантора (по этой переменной)
преобразует в высказывание.
Пропозициональные связки (в отличие
от кванторов, введение к-рых знаменует переход к логике предикатов) употребляются
уже в самой элементарной части логики - в логике высказываний. В формализованных
логич. и логико-матем. языках они выполняют функции, вполне аналогичные
функциям союзов и союзных слов, употребляемых для образования сложных предложений
в естественных языках. Так, отрицание п истолковывается как частица "не",
конъюнкция & истолковывается как союз "и", дизъюнкция V - как (неразделительное)
"или", импликация г> - как оборот "если..., то...", эквиваленция - как
оборот "тогда и только тогда, когда" и т. п. При этом, однако, соответствие
между Л. о. и средствами естественного языка отнюдь не взаимно однозначно.
Во-первых, потому, что высказывания, по определению, могут принимать лишь
два "истинностных значения": "истину" ("и") и "ложь" ("л"), так что пропозициональные
Л. о. можно рассматривать как различные функции, отображающие нек-рую область
из двух элементов в себя; поэтому число различных га- местных (т. е. от
n аргументов) Л. о. определяется из чисто комбинаторных соображений - оно
равно 2". Во-вторых, в формализованных языках матем. логики игнорируются
любые смысловые (и тем более стилистические) оттенки значений союзов, кроме
тех, что непосредственно опредачяют истинностное значение получающегося
сложного предложения. В свою очередь, в качестве Л. о. рассматриваются
подчас и такие связки, содержательные аналоги к-рых в обычном языке, как
правило, не имеют специальных наименований; таков, напр., "штрих Шеффера"
в нижеследующей таблице, где приведён полный перечень всех 222
= 16 двуместных пропозициональных Л. о. (в первых двух столбцах помещены
истинностные значения нек-рых "исходных" высказываний р и .7, в остальных
- значения высказываний, образуемых из них посредством указанных сверху
Л. о.).
Поскольку в табл. сведены все мыслимые
двуместные Л. о., соответствующие всевозможным "четырёхбуквенным словам"
из "и" и "л", записанным по вертикали в её столбцах, то естественно, что
среди этих 17 Л. о. есть и "вырожденные" случаи: первые две "связки" вообще
не зависят ни от каких "аргументов" - это константы "и" и "л" (понятно,
что таких "нульместных" связок имеется ровно 22 = 2), далее
идут 221 =4 "одноместных связок" (каждая из к-рых зависит лишь
от одного из аргументов р или q) и только затем уже 16-2-4 = 10 собственно
двуместных Л. о. Можно далее рассматривать 22" = 256 трёхместных
Л. о. и т. д.; оказывается, однако, что уже небольшой части приведённых
Л. о. достаточно для того, чтобы посредством их с у- перпозиций (т. е.
последовательного применения) выразить любые n-местные Л. о. для любого
натурального п. Такими функционально полными наборами связок являются,
напр., п и&, 1 и V, 1 и => и даже одна-единственная связка . Поскольку
логика высказываний может быть изоморфно (см. Изоморфизм) интерпретирована
в терминах логики классов, для каждой Л. о. имеется аналогичная теоретико-множественная
операция; совокупность таких операций над множествами (классами) образует
т. н. алгебру множеств. См. Алгебра логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую
логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §§ 05, 06 и 15. Ю. А. Гостев.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я