МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ
фундаментальные
ур-ния классической макроскопич. электродинамики, описывающие электромагнитные
явления в произвольной среде. М. у. сформулированы Дж. К. Максвеллом
в
60-х гг. 19 в. на основе обобщения эмпирич. законов электрич. и магнитных
явлений. Опираясь на эти законы и развивая плодотворную идею М. Фарадея
о
том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляются
посредством электромагнитного поля, Максвелл создал теорию электромагнитных
процессов, математически выражаемую М. у. Совр. форма М. у. дана нем. физиком
Г. Герцем и англ, физиком О. Хевисайдом.
М. у. связывают величины, характеризующие
электромагнитное поле, с его источниками, т. е. с распределением в пространстве
электрич. зарядов и токов. В пустоте электромагнитное поле характеризуется
двумя векторными величинами, зависящими от пространственных координат и
времени: напряжённостью электрического поля Е и магнитной индукцией
В.
Эти
величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи,
распределение к-рых в пространстве задаётся плотностью заряда р (зарядом
в единице объёма) и плотностью тока j (зарядом, переносимым в единицу времени
через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов).
Для описания электромагнитных процессов в материальной среде (в веществе),
кроме векторов Е и В, вводятся вспомогат. векторные величины, зависящие
от состояния и свойств среды: электрическая индукция D и напряжённость
магнитного поля Н.
М. у. позволяют определить осн. характеристики
поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени,
если известны источники поля ;ир как функции координат и времени. М. у.
могут быть записаны в интегральной или в дифференциальной форме (ниже они
даны в абс. системе единиц Гаусса; см. СГС система единиц).
М. у. в интегральной форме определяют по
заданным зарядам и токам не сами векторы поля Е, В, D, H в отд.
точках пространства, а нек-рые интегральные величины, зависящие от распределения
этих характеристик поля: циркуляцию векторов ? и Н вдоль произвольных
замкнутых контуров и потоки векторов D и В через произвольные
замкнутые поверхности.
Первое М. у. является обобщением на переменные
поля эмпирич. Ампера закона о возбуждении магнитного поля электрич.
токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только
токами, текущими в проводниках, но и переменными электрич. полями в диэлектриках
или вакууме. Величина, пропорциональная скорости изменения электрич. поля
во времени, была названа Максвеллом током смещения. Ток смещения возбуждает
магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости (позднее это было
подтверждено экспериментально). Полный ток, равный сумме тока проводимости
и тока смещения, всегда является замкнутым.
Первое М. у. имеет вид:
Третье М. у. выражает опытные данные об
т. е. поток вектора магнитной индукции
Если считать, что векторы электромагнитного
Здесь rot и div - дифференциальные операторы
М. у. в форме (1) или (2) не образуют полной
Макроскопические М. у. описывают среду
Ур-ния состояния в общем случае очень сложны,
Здесь е (х, у, г) - диэлектрическая
Проницаемости Е и n фактически определяют
Если электромагнитное поле рассматривается
Осн. ур-ния для поля (2) линейны, ур-ния
Из М. у. вытекает ряд законов сохранения.
представляющее собой закон сохранения электрич.
Из М. у. следует, что электромагнитное
Направление вектора Пойнтинга перпендикулярно
Как видно из (7), (8) и (10), электромагнитное
М. у. приводят к фундаментальному выводу
Электромагнитные явления протекают одинаково
М. у. описывают огромную область явлений.
Лит.: МаксвеллДж. К., Избр. соч.
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
т. е. циркуляция вектора напряжённости
магнитного поля вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений
вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl
контура)
определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную
данным контуром. Здесь j
на
нормаль к бесконечно малой площадке as,
являющейся частью поверхности
S, (1/4ПИ)*(бD
скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме. Второе
М. у. является математич. формулировкой закона электромагнитной индукции
Фарадея (см. Индукция электпомагнитная)и
записывается в виде:
т. е. циркуляция вектора напряжённости
электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется
скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность
S, ограниченную данным контуро м. Здесь В
на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак
минус соответствует Ленца правилу для направления индукционного
тока.
отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле
порождается только токами):
через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.
Четвёртое М. у. (обычно называемое Гаусса
теоремой) представляет собой обобщение закона взаимодействия неподвижных
электрич. зарядов - Кулона закона:
т. е. поток вектора электрической индукции
через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом,
находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном данной
поверхностью).
поля (Е, В, D, Н) являются непрерывными функциями координат, то,
рассматривая циркуляцию векторов Н и Е по бесконечно малым
контурам и потоки векторов В и D через поверхности, ограничивающие
бесконечно малые объёмы, можно от интегральных соотг ношений (1, я - г)
перейти к системе дифференциальных ур-ний, справедливых в каждой точке
пространства, т. е. получить дифференциальную форму М. у. (обычно более
удобную для решения оазличных задач):
ротор (см. Вихрь) и дивергенция, действующие на векторы Н,
Е, В и D. Физич. смысл ур-ний (2) тот же, что и ур-ний (1).
замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при
наличии материальной среды. Необходимо их дополнить соотношениями, связывающими
векторы Е, Н, D, В и j, к-рые не являются независимыми. Связь между
этими векторами определяется свойствами среды и её состоянием, причём D
и У выражаются через Е, а В - через Н:
D = D(E), B = B(H), j = j(E). (3)
Эти три ур-ния наз. уравнениями состояния, или материальными уравнениями;
они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды
имеют определённую форму. В вакууме
ур-ний поля (2) и ур-ний состояния (3) образуют полную систему уравнений.
феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного
поля с заряженными частицами среды. М. у. могут быть получены из Лоренца-
Максвелла уравнений для микроскопич. полей и определённых представлений
о строении вещества путём усреднения микрополей по малым пространственно-временным
интервалам. Таким способом получаются как осн. ур-ния поля (2), так и конкретная
форма ур-ний состояния (3), причём вид ур-ний поля не зависит от свойств
среды.
т. к. векторы D, В и j в данной точке пространства в данный момент времени
могут зависеть от полей Е и Н во всех точках среды во все предшествующие
моменты времени. В нек-рых средах векторы D я В могут быть отличными
от нуля при Е и Н равных нулю (сегнетоэлектрики и ферромагнетики).
Однако
для большинства изотропных сред, вплоть до весьма значит, полей, ур-ния
состояния имеют простую линейную форму:
проницаемость, а ц (х, у, z) - магнитная проницаемость среды,
характеризующие соответственно её электрич. и магнитные свойства (в выбранной
системе единиц для вакуума е = ц = 1); величина б(х, у, z) наз.
удельной электропроводностью; jстр - плотность т. н. сторонних
токов, т. е. токов, поддерживаемых любыми силами, кроме сил электрич. поля
(напр., магнитным полем, диффузией и т. д.). В феноменологич. теории Максвелла
макроскопич. характеристики электромагнитных свойств среды Е, ц и а должны
быть найдены экспериментально. В микроскопич. теории Лоренца - Максвелла
они могут быть рассчитаны.
тот вклад в электромагнитное поле, к-рый вносят т. н. связанные заряды,
входящие в состав электрически нейтральных атомов и молекул вещества. Экспериментальное
определение е, ц, а позволяет рассчитывать электромагнитное поле в среде,
не решая трудную вспомогат. задачу о распределении связанных зарядов и
соответствующих им токов в веществе. Плотность заряда р и плотность тока
j в М. у. - это плотности свободных зарядов и токов, причём вспомогат.
векторы Н и D вводятся так, чтобы циркуляция вектора Н определялась
только движением свободных зарядов, а поток вектора D - плотностью распределения
этих зарядов в пространстве.
в двух граничащих средах, то на поверхности их раздела векторы поля могут
претерпевать разрывы (скачки); в этом случае ур-ния (2) должны быть дополнены
граничными условиями:
Здесь j
векторное и скалярное произведения векторов, и - единичный вектор нормали
к поверхности раздела в направлении от первой среды ко второй (1->2), а
индексы относятся к разным сторонам границы раздела.
же состояния (3) могут быть и нелинейными. Обычно нелинейные эффекты обнаруживаются
в достаточно сильных полях. В линейных средах [удовлетворяющих соотношениям
(4)] и, в частности, в вакууме М. у. линейны и, т. о., оказывается справедливым
суперпозиции
принцип: при наложении полей они не оказывают влияния друг на друга.
В частности, из ур-ний (1, а) и (1, г) можно получить соотношение
(т. н. уравнение непрерывности):
заряда: полный ток, протекающий за единицу времени через любую замкнутую
поверхность S, равен изменению заряда внутри объёма V, ограниченного
этой поверхностью. Если ток через поверхность отсутствует, то заряд в объёме
остаётся неизменным.
поле обладает энергией и импульсом (количеством движения). Плотность энергии
w
(энергии
единицы объёма поля) равна:
Электромагнитная энергия может перемещаться
в пространстве. Плотность потока энергии определяется т. н. вектором Пойнтинга
как Е, так и Н и совпадает с направлением распространения электромагнитной
энергии, а его величина равна энергии, переносимой в единицу времени через
единицу поверхности, перпендикулярной к вектору П. Если не происходит превращений
электромагнитной энергии в др. формы, то, согласно М. у., изменение энергии
в некотором объёме за единицу времени равно потоку электромагнитной энергии
через поверхность, ограничивающую этот объём. Если внутри объёма за счёт
электромагнитной энергии выделяется тепло, то закон сохранения энергии
записывается в форме:
где Q - количество теплоты, выделяемой
в единицу времени. Плотность импульса электромагнитного поля g (импульс
единицы объёма поля) связана с плотностью потока энергии соотношением:
Существование импульса электромагнитного
поля впервые было обнаружено экспериментально в опытах П. Н. Лебедева
по
измерению давления света (1899).
поле всегда обладает энергией, а поток энергии и электромагнитный импульс
отличны от нуля лишь в случае, когда одновременно существуют и электрич.
и магнитное поля (причём эти поля не параллельны друг другу).
о конечности скорости распространения электромагнитных взаимодействий (равной
с = 3*1010 см/сек). Это означает, что при изменении плотности
заряда или тока в нек-рой точке пространства порождаемое ими электромагнитное
поле в точке наблюдения изменяется не в тот же момент времени, а спустя
время t = R/c, где R - расстояние от элемента тока или заряда
до точки наблюдения. Вследствие конечной скорости распространения электромагнитных
взаимодействий возможно существование электро-магнитных волн, частным
случаем к-рых (как впервые показал Максвелл ) являются световые волны.
во всех инерциалъных системах отсчёта, т. е. удовлетворяют принципу
относительности. В соответствии с этим М. у. не меняют своей формы при
переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (релятивистски
инвариантны). Выполнение принципа относительности для электромагнитных
процессов оказалось несовместимым с клас-сич. представлениями о пространстве
и времени, потребовало пересмотра этих представлений и привело к созданию
спец. теории относительности (А. Эйнштейн, 1905; см. Относительности
теория). Форма М. у. остаётся неизменной при переходе к новой инерциальной
системе отсчёта, если пространств, координаты и время, векторы поля Е,
Н, В, D, плотность тока j и плотность заряда р изменяются в
соответствии с Лоренца преобразованиями (выражающими новые, релятивистские
представления о пространстве и времени). Релятивистски-инвариантная форма
М. у. подчёркивает тот факт, что электрич. и магнитное поля образуют единое
целое.
Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль
в развитии таких актуальных направлений совр. физики, как физика плазмы
и
проблема управляемых термоядерных реакций, магнитная гидродинамика,
нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц,
астрофизика
и т. д. М. у. неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн,
когда становятся существенными квантовые эффекты, т. е. когда энергия отд.
квантов электромагнитного поля - фотонов - велика и в процессах участвует
сравнительно небольшое число фотонов.
по теории электромагнитного поля, пер. с англ., М., 1952; Тамм И. Е., Основы
теории электричества, 7 изд., М., 1957; К а-лашников С. Г., Электричество,
М., 1956 (Общий курс физики, т. 2); фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские
лекции по физике, Гпер. с англ.], в. 5, 6, 7, М., 1966; Ландау Л. Д., Лифшиц
Е. М., Теория поля, 5 изд., М., 1967 (Теоретическая физика, т. 2); и х
ж е, Электродинамика сплошных сред, М., 1959. Г. Я. Мякишев.