МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД

МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ МЕТОД метод
нахождения статистических оценок неизвестных параметров распределения;
согласно М. п. м., в качестве оценок выбираются те значения параметров,
при к-рых данные результаты наблюдений "наиболее вероятны". Предполагается,
что результаты наблюдений Xявляются
взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же распределением
вероятностей,
зависящим от одного неизвестного параметра 0 принадлежит ©, где © - множество
допустимых значений 0. Для придания точного смысла принципу "наибольшей
вероятности" поступают след, образом. Вводят функцию

L(x0) = р(х0)...р(x0), где p(t; 0) в случае непрерывного распределения интерпретируется
как плотность вероятности случайной величины X, а в дискретном случае
- как вероятность того, что случайная величина X примет значение
t.
Функцию
L(X0) от случайных величин X. . ., Хназ. функцией правдоподобия, а оценкой
максимального правдоподобия параметра 0 наз. такое значение 0 = 0(X. . ., Х(само являющееся случайной величиной), при
к-ром функция правдоподобия достигает наибольшего возможного значения.
Т. к. точка максимума для log L та же, что и для L, то для нахождения
оценок максимального правдоподобия следует решить т. н. уравнение правдоподобия



М. п. м. не всегда приводит к приемлемым
результатам, однако в достаточно широком круге практически важных случаев
этот метод является в известном смысле наилучшим. Так, напр., можно утверждать,
что если для параметра 0 существует несмещённая эффективная оценка 0* по
выборке объёма п, то уравнение правдоподобия имеет единств, решение
0=0*. Что касается асимптотич. поведения оценок максимального правдоподобия
при больших п, то известно, что при нек-рых общих условиях М. п.
м. приводит к состоятельной оценке, к-рая асимптотически нормальна и асимптотически
эффективна. Данные выше определения непосредственно обобщаются и на случай
нескольких неизвестных параметров и на случай выборок из многомерных распределений.
М. п. м. в его совр. виде был предложен англ, статистиком Р. Фишером (1912),
однако в частных формах метод использовался К. Гауссом, а ещё раньше,
в 18 в., к его идее были близки И. Ламберт п Д. Бернулли. Следует
добавить, что назв. "М. п. м." является калькой с англ, "maximum likelihood
method".

Лит.: Крамер Г., Математические
методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Р а о С. Р., Линейные статистические
методы п их применения, пер. с англ., М., 1968; X у д с о н Д., Статистика
для физиков, пер. с англ., М., 1970. А. В. Прохоров.