МАЛЫЕ ВЫБОРКИ

МАЛЫЕ ВЫБОРКИ статистические выборки
столь малого объёма п, что к ним нельзя применить простые классич.
формулы, действующие лишь асимптотически при при n стемящейся к бесконечности.
Особенности статистич. оценки параметров по М. в. легче всего понять на
примере нормального распределения (для к-рого малыми обычно считают
выборки объёма п =< 30). Пусть необходимо оценить неизвестное
среднее значение а выборки xхиз нормальной совокупности с неизвестной дисперсией б².
Обозначим

Исходным пунктом при оценке а служит
то обстоятельство, что распределение вероятностей величины

не зависит от а и б. Вероятность
со неравенства -tи равносильного
ему неравенства

вычисляется при этом по формуле

где s(t,n-1) есть плотность вероятности
для т. н. Стьюдента распределения с n - 1 степенями свободы. Определяя
для заданных я и со (0 < w <1) соответствующее tможно сделать, напр., по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных
границ для величины а, имеющей значимости уровень со.

При больших п формула (2), связывающая
со и t


Эту формулу иногда неправильно применяют
для определения t при небольших п, что приводит
к грубым ошибкам. Так, для со = 0,99 по формуле (3) находим (о,99 = 2,58;
истинные значения tп приведены в следующей
таблице:

Если пользоваться формулой (3) при п
=
5, то получится вывод, что неравенство



выполняется с вероятностью 0,99. В действительности
в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94,
а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство



Об оценке по М. в. теоретической дисперсии
б² см. Хи-квадрат распределение. Разработаны также аналогичные
методы оценки по М. в. параметров многомерных распределений (напр., коэффициента
корреляции).

Лит.: Крамер Г., Математические
методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение
центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, "Изв.
АН СССР.

Серия математическая", 1942, т. 6, N° 1-2;
Большее Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.
Ю. В. Прохоров.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я