МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИКА

СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ

Математика (греч. mathematike, от mathema
- знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных
формах действительного мира.

"Чистая математика имеет своим объектом
пространственные формы и количественные отношения действительного мира,
стало быть - весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает
чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение
из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения
в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить
это последнее в стороне как нечто безразличное" (Энгельс Ф., см. Маркс
К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако,
не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи
с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных
форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение
М. наполняется всё более богатым содержанием.

Математика и другие науки.
Приложения М. весьма разнообразны. Принципиально область применения математич. метода
не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически.
Однако роль и значение мате-матич. метода в различных случаях различны.
Никакая определённая матема-тич. схема не исчерпывает всей конкретности
действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает
всегда в борьбе двух тенденций; с одной стороны, выделения формы изучаемых
явлений и логич. анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов,
не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых
форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если же трудности изучения
какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если
каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно
новых сторон явлений, то математич. метод отступает на задний план; в этом
случае диалектич. анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнён
математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые
основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью
и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают
достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального ма-тематич.
исследования, в частности создания специальной символич. записи и специального
алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математич.
метода.

Типичным примером полного господства математич.
метода является небесная механика, в частности учение о движении планет.
Имеющий очень простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти
полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории
движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение
формой и размерами небесных тел - замена их "материальными точками". Но
решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под
действием сил тяготения уже в случае п = 3 представляет колоссальные
трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа
принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности:
логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и
все трудности заключаются в извлечении математич. следствий из принятой
схемы.

С переходом от механики к физике ещё не
происходит заметного уменьшения роли математич. метода, однако значительно
возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики,
не требующей употребления весьма развитого математич. аппарата, но часто
основная трудность исследования заключается не в развитии математич. теории,
а в выборе предпосылок для математич. обработки и в истолковании результатов,
полученных математич. путём. На примере ряда физич. теорий можно наблюдать
способность математич. метода охватывать и самый процесс перехода познания
действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно
новую. Классич. образцом может служить соотношение между макроскопич. теорией
диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределённым непрерывно,
и статистич. теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных
частиц диффундирующего вещества. В первой теории плотность диффундирующего
вещества удовлетворяет определённому уравнению с частными производными.
К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых
и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся
к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передаёт
действительный ход явлений, поскольку дело идёт об обычных для нас (макроскопических)
пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства
(вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие
плотности теряет определённый смысл. Статистич. теория диффузии исходит
из рассмотрения мик-роскопич. случайных перемещений диффундирующих частиц
под действием молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности
этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математич. теория
вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые
промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных
промежутка времени) получить определённые количественные следствия: определить
(приближённо) законы распределения вероятностей для перемещений частиц
за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных
частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей
для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости
перемещений каждой частицы от других, к вполне определённым, уже не случайным
закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем
самым дифференциальным уравнениям, на к-рых построена непрерывная теория.
Приведённый пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на
почве одного круга закономерностей (в примере - законов движения отдельных
частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно
нового рода закономерностей (в примере - дифференц. уравнений непрерывной
теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

В биологич. науках математич. метод играет
более подчинённую роль. В ещё большей степени, чем в биологии, математич.
метод уступает своё место непосредственному анализу явлений во всей их
конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках. Применение математич.
метода в биологич., социальных и гуманитарных науках осуществляется гл.
обр. через кибернетику (см. Кибернетика биологическая, Кибернетика
медицинская, Кибернетика экономическая). Существенным остаётся значение
М. для социальных дисциплин (как и для биологич. наук) в форме подсобной
науки - математич. статистики. В окончательном же анализе социальных явлений
моменты качественного своеобразия каждого историч. этапа приобретают столь
доминирующее положение, что математич. метод часто отступает на задний
план.

Математика и техника.
Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из историч. очерка, возникли
из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математич.
методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на
запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики
и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения
уже созданных математич. теорий к техническим проблемам. Укажем, однако,
примеры возникновения новых общих математич. теорий на основе непосредственных
запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезич.
работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными
производными впервые было начато с решения технич. проблем; операторные
методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой
и т. д. Из запросов связи возник новый раздел теории вероятностей - теория
информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых
разделов математич. логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в
развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли
технич. задачи. Целиком на технич. почве были созданы многие методы приближённого
решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных
уравнений. Задача быстрого фактич. получения численных решений приобретает
большую остроту с усложнением технич. проблем. В связи с возможностями,
к-рые открыли вычислительные машины для решения практич. задач, всё большее
значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретич. М. дал
возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная
М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практич. проблем, включая
проблему использования атомной энергии и космич. исследования.

II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 В. Ясное
понимание самостоятельного положения М. как особой науки, имеющей собственный
предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого
фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие
М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики,
а к 6-5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики.
В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело
почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших
ещё на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми
запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению
количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров
отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим
расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики [за исключением
отдельных исследований греч. учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших
уже начатков исчисления бесконечно малых] могли ещё удовлетворяться этим
же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая задолго
до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17-18 вв. систематически
предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия,
целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии.

В 17 в. новые запросы естествознания и
техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании
методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения
величин, преобразования геометрич. фигур (при проектировании и т. п.).
С употребления переменных величин в аналитич. геометрии франц. учёного
Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается
период математики переменных величин.

Дальнейшее расширение круга количественных
отношений и пространственных форм, изучаемых М., привело в нач. 19 в. к
необходимости отнестись к процессу расширения предмета математич. исследований
сознательно, поставив перед собой задачу систематич. изучения с достаточно
общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных
форм. Создание рус. математиком Н. И. Лобачевским его "воображаемой геометрии",
получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным
шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в
строение М. столь важные новые черты, что М. в 19 и 20 вв. естественно
отнести к особому периоду современной математики.



1. Зарождение математики.
Счёт предметов
на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших
понятий арифметики натуральных чисел .Только на основе разработанной системы
устного счисления
возникают письменные системы счисления и постепенно
вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич.
действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности).
Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят
к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке
приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливается
материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку - арифметику.
Измерение
площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее
- астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы
шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное
значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич.
знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметич.
вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами
астрономии - начатки
тригонометрии.

Сохранившиеся математич. тексты Др. Египта
(1-я пол. 2-го тыс. до н. э.) состоят по преимуществу из примеров на решение
отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда
удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует
говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич.
теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало.
Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без
всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных
математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой,
сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п.,
довольно велик (см. Папирусы математические).

Математич. текстов, позволяющих судить
о М. в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские
клинописные
математические тексты охватывают период от 2-го тыс. до н. э. до возникновения
и развития греч. М. Вавилония этого времени получила от более раннего шумерского
периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему счисления,
заключавшую в себе уже позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают
одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Деление при
помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. Кроме таблиц обратных
чисел, имелись таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических
корней. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за
пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов
и нек-рые начатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии.
Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.



2. Период элементарной математики. Только
после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приёмов
арифметич. вычислений, способов определения площадей и объёмов и т. п.
возникает М. как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия её
метода и необходимости систематич. развития её основных понятий и предложений
в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно,
что указанный процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось
это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном
построении основ математич. науки, в Др. Греции. Созданная древними греками
система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперёд сделалась
образцом дедуктивного построения математич. теории. Из арифметики постепенно
вырастает чисел теория.
Создаётся систематич. учение о величинах
к измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин)
понятия действительного числа (см.
Число)
оказывается весьма длительным.
Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся
к тем более сложным математич. абстракциям, к-рые, в отличие от понятий
натурального числа, дроби или геометрич. фигуры, не имеют достаточно прочной
опоры в донаучном общечеловеческом опыте.

Создание алгебры как буквенного исчисления
завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысяче-летнего периода. Специальные
обозначения для неизвестных появляются у греч. математика Диофанта (вероятно,
3 в.) и более систематически - в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов
уравнения введено только в 16 в. франц. математиком Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит
к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в
Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится
в область М. переменных величин.



Древняя <Греция.
Развитие
М. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если
в отношении техники проведения вычислений, искусства решения задач алгебраич.
характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич.
эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже гораздо
раньше М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития.
Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны
первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё
научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она
была в странах Др. Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками,
оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в
отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами).

Греки считали себя в области арифметики
учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями
их обширной торговли; начало же греч. геометрии традиция связывает с путешествиями
в Египет (7- 6 вв. до н. э.) первых греч. геометров и философов Фалеса
Милетского
и Пифагора Самосского. В школе Пифагора арифметика из простого искусства
счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметич.
прогрессии [в частности, 1 + 3
+
5 + + ... + (2п - 1) = n²],
изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое
и гармоническое), вопросы теории чисел (напр., разыскание т. н. совершенных
чисел) связываются в школе Пифагора с мистич., магич. значением, приписываемым
числовым соотношениям. В связи с геометрич. теоремой Пифагора был найден
метод получения неограниченного ряда троек чпифагоровых чисел", т. е. троек
целых чисел, удовлетворяющих соотношению а² + b²
= с². В области геометрии задачи, к-рыми занимались греч. геометры
6-5 вв. до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно
возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и
навигации. Таковы, напр., вопросы о соотношении между длинами катетов и
гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом теоремой Пифагора),
о соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции
угла и удвоении куба. Новым, однако, является подход к этим
задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь
приближёнными, эмпирически найденными решениями, греч. геометры ищут точных
доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером
этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали
квадрата с его стороной. Во 2-й пол. 5 в. до н. э. философская и научная
жизнь Греции сосредоточивается в Афинах. Здесь протекает основная деятельность
Гиппия Элидского и Гиппократа Хиосского.
Первый систематич. учебник
геометрии приписывают Гиппократу Хиосскому. К этому времени, несомненно,
уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими
логич. тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и
т. п. Отражением в М. первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального
объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение
геометрии 5 в. до н. э.- разыскание всех пяти правильных многогранников
- результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными
камнями мироздания. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя
из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший
позднее для Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых.
В 4 в. до н. э. в обстановке политич. реакции и упадка могущества Афин
наступает эпоха известного подчинения М. ограничениям, выдвинутым идеалистич.
философией. Наука о числах строго отделяется здесь от "искусства счисления",
а геометрия - от "искусства измерения". Опираясь на существование несоизмеримых
отрезков, площадей и объёмов, Аристотель налагает общий запрет на
применение арифметики к геометрии. В самой геометрии вводится требование
об ограничении построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки.
Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э.
можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования
Евдокса
Книдского.



Эллинистическая и римская эпоха. С
3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно
математич. исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения
различных мировых культур, больших гос. и строит, задач и невиданного ранее
по своей широте гос. покровительства науке, греч. М. достигла своего высшего
расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов
во всём эллинистическом и римском мире, Александрия с её "музеем", являвшимся
первым н.-и. институтом в совр. смысле слова, и библиотеками обладала столь
большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались
сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным
Сиракузам. Наибольшей • напряжённостью математич. творчества отличается
первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат
Евклид,
Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.

В своих "Началах" Евклид собрал и подверг
окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области
геометрии (см. "Начала" Евклида). Вместе с тем в "Началах" же Евклид
впервые заложил основы систематич. теории чисел, -доказывая бесконечность
ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Из геометрич.
работ Евклида, не вошедших в "Начала", и работ Аполлония Пергского наибольшее
значение для дальнейшего развития М. имело создание законченной теории
конических
сечений. Основной заслугой

Архимеда в геометрии явилось определение
разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента
и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида
и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида);
архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до
н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма
научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности
и глубины; зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристич.
приёмах Архимеда, не получили дальнейшего развития. Следует сказать, что
возникший из прикладных нужд интерес к приближённому измерению величин
и приближённым вычислениям не привёл математиков 3 в. до н. э. к отказу
от математич. строгости. Все многочисленные приближённые извлечения корней
и даже все астрономич. вычисления производились ими с точным указанием
границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности
в форме безукоризненно доказанных неравенств

где р - длина окружности с диаметром
d.
Это
отчётливое понимание того, что приближённая М. не есть "нестрогая" М.,
было позднее надолго забыто.

Существенным недостатком всей М. древнего
мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального
числа. Как уже было указано, это обстоятельство привело философию 4 в.
до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению
геометрич. величин. В действительности, в теории пропорций и в исчерпывания
методе математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом
осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли
не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового
понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным
с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе
истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным,
открыв возможность беспрепятственного развития алгебры (допускавшейся в
рамках строгих концепций евклидовых "Начал" лишь в чрезвычайно стеснительной
форме "геометрической алгебры" отрезков, площадей и объёмов). Значительные
успехи в этом направлении можно отметить в "Метрике" Герона.
Однако
самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраич. исчисления встречается
лишь в "Арифметике" Диофанта, посвящённой в основном решению уравнений.
Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается,
в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым
возможность геометрич. или механич. приложений своей алгебры. Тригонометрия
воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не
как часть М. К ней так же, как и к вычислит, геометрии Герона, не предъявляется
требований полной строгости формулировок и доказательств. Гиппарх первый
составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферич.
тригонометрии создаются
Менелаем
и Клавдием Птолемеем.

В области чистой М. деятельность учёных
последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается
на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени
[Паппа (Зв.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли
уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно
развивавшихся алгебры Диофанта, включённой в астрономию тригонометрии,
и откровенно нестрогой вычислит, геометрии Герона в единую, способную к
большому развитию науку.



Китай. Наличие у кит. математиков
высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраич. методам
обнаруживает уже "Арифметика в девяти главах", составленная по более ранним
источникам во 2-1 вв. до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном.В этом сочинении
описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней
из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять
только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы
исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными
расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа
на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на
7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 вв.) и более
полно Цинь Цзю-шао (13 в.) дают изложенное на примерах описание
регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития
вычислит, методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я
пол. 5 в.), к-рый показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит
в пределах 3,1415926<Пи<3,1415927. Особенно замечательны работы китайцев
по численному решению уравнений. Геометрич. задачи, приводящие к уравнениям
третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна
(1-я пол. 7 в.). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших
степеней былодано в работах математиков 13-14 вв. Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян
Хуэя и Чжу Ши-цэе.



Индия. Расцвет инд. М. относится
к 5-12 вв. (наиболее известны инд. математики Ариабхата, Брахмагупта,
Бхаскара). Индийцам принадлежат две осн. заслуги. Первой из них является
введение в широкое употребление совр. десятичной системы счисления и систематич.
употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение
употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь "арабскими", не вполне
выяснено. Второй, ещё более важной заслугой инд. математиков является создание
алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными
и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач
отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить,
что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего
возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа
возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее
(в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение. В тригонометрии
заслугой инд. математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.



Средняя Азия и Ближний Восток. Араб,
завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью
араб.халифов привели к тому, что в течение 9-15вв. учёные Ср.Азии, Бл.Востока
и Пиренейского п-ова пользовались араб, языком. Наука здесь развивается
в мировых торговых городах, в обстановке широкого междунар. общения и гос.
поддержки больших науч. начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась
в 15 в. деятельность Улугбека, к-рый при своём дворе и обсерватории
в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными
астрономии, наблюдения, вычисление математич. таблиц и т. п.

В зап.-европ. науке длительное время господствовало
мнение, что роль -"арабской культуры" в области М. сводится в основном
к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего
мира и Индии. (Так, сочинения греч. математиков впервые стали известны
в Зап. Европе по араб. переводам.) В действительности вклад математиков,
писавших на араб, языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам
современной советской Ср. Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских,
азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

В 1-й пол. 9 в. Мухаммед бен Муса Хорезми
впервые
дал изложение алгебры как самостоят, науки. Термин "алгебра" производят
от начала названия сочинения Хорезми "Аль-джебр", по к-рому европ. математики
раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар
Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию,
выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней).
Хайям в своём алгебраич. трактате говорит, что он много занимался поисками
точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских
математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические
(при помощи конич. сечений), так и приближённые численные методы решения.
Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля,
математики Ср. Азии и Бл. Востока применяли в больших науч. вычислениях
по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным
делением углов в астрономии).

В связи с астрономич. и геодезич. работами
большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани ввёл в употребление
тригонометрич. функции синус, тангенс и котангенс, Абу-лъ-Вефа - все
шесть тригонометрич. функций, он же выразил словесно алгебраич. зависимости
между ними, вычислил таблицы синусов через 10' с точностью до 1/60⁴
и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферич. треугольников.
Насирэддин
Туей достиг известного завершения разработки сферич. тригонометрии,
алъ-Каши
дал систематич. изложение арифметики десятичных дробей, к-рые справедливо
считал более доступными, чем шестидесятиричные. В связи с вопросами извлечения
корней аль-Каши сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал правило
образования коэффициентов Сm=Сm+Сm-1.
В "Трактате об окружности"

(ок. 1427) аль-Каши, определяя периметры
вписанного и описанного 3*2²⁸-угольников, нашёл я с семнадцатью
десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов аль-Каши
дал весьма совершенный итерационный метод численного решения уравнений.
<Западная
Европа до 16 в. 12-15 вв. являются для зап.-европ. М. по преимуществу
периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже
в этот период, не приведший ещё к открытию особенно значит, новых математич.
фактов, общий характер европ. математич. культуры отличается рядом существенных
прогрессивных черт, обусловивших возможность стремит, развития М. в последующие
века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой
буржуазии итал, городов привёл к созданию и широкому распространению учебников,
соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и
научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых латинских
переводов греч. и араб, математич. сочинений Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
выпускает в свет свои "Книгу об абаке" (1202) и "Практику геометрии" (1220),
излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти
книги имели большой успех. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением
книгопечатания) учебники получают ещё более широкое распространение. Основными
центрами теоретич. научной мысли в это время становятся университеты. Прогресс
алгебры как теоретич. дисциплины, а не только собрания практич. правил
для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных
чисел как отношений несоизмеримых величин [англ, математик Т. Брадвардин
(1-я пол. 14 в.) и Н. Орем (сер. 14 в.)] и особенно во введении
дробных (Н. Орем), отрицательных и нулевых [франц. математик Н. Шюке (конец

15 в.)] показателей степеней. Здесь же
возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших
и бесконечно малых величинах. Широкий размах научных исследований этой
эпохи нашёл отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греч.
и араб, авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных три-гонометрич.
таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака Региомонтаном
(И.
Мюллером). Значительно совершенствуется математич. символика (см.
Знаки
математические). Развиваются научная критика и полемика. Поиски решения
трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят
к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в соч.
"Цветок" (около 1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решённые
им задачи, доказал неразрешимость уравнения: х³+2х²+10x=20
не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратичных
иррациональностей вида




Западная Европа в 16 в.
Этот век
был первым веком превосходства Зап. Европы над древним миром и Востоком.
Так было в астрономии (открытие Н. Коперника) и в механике (к концу
этого столетия уже появляются первые исследования Г. Галилея), так
в целом обстоит дело и в М., несмотря на то, что в нек-рых направлениях
европ. наука ещё отстаёт от достижений среднеазиатских математиков 15 в.
и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие
новой европ. М., возникают лишь в следующем, 17 в. В 16 же веке казалось,
что новая эра в М. начинается с открытием алгебраич. решения уравнений
третьей (С. Ферро, ок. 1515, и позднее и независимо Н. Тарталъей,
ок.
1530; об истории этих открытий см. Кардана формула) и четвёртой
(Л. Феррари, 1545) степеней, к-рое считалось в течение столетий
неосуществимым. Дж. Кардана
исследовал уравнения третьей степени,
открыв т. н. неприводимый случай, в к-ром действительные корни уравнения
выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно,
признать пользу вычислений с комплексными числами. Дальнейшее развитие
алгебра получила у Ф. Виета - основателя настоящего алгебраич. буквенного
исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвестные). Учение
о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 в., излагается нем.
художником А. Дюрером (1525). С. Стевин
разработал (1585) правила
арифметич. действий с десятичными дробями.



Россия до 18 в. Математич. образование
в России находилось в 9-13 вв. на уровне наиболее культурных стран Вост.
и Зап. Европы. Затем оно было надолго задержано монг. нашествием. В 15-16
вв. в связи с укреплением Рус. гос-ва и экономич. ростом страны значительно
выросли потребности общества в математич. знаниях. В конце 16 в. и особенно
в 17 в. появились многочисл. рукописные руководства по арифметике, геометрии,
в к-рых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практич.
деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства
и пр.).

В Др. Руси получила распространение сходная
с греко-византийской система числовых знаков, основанная на слав, алфавите
(см. Славянские цифры). Славянская нумерация в русской математич.
лит-ре встречается до нач. 18 в., но уже с конца 16 в. эту нумерацию всё
более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

Наиболее древнее известное нам математич.
произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику.
Оно посвящено арифмстико-хронологич. расчётам, к-рые показывают, что в
то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения
на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математич.
части к решению в целых числах неопределённых уравнений первой степени.
Арифметич. рукописи конца 16-17 вв. содержат, помимо описания славянской
и араб, нумерации, арифметич. операции с целыми положит, числами, а также
подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение
уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного
положения. Для целей практич. использования общих правил в рукописях рассматривалось
много примеров реального содержания и излагался т. н. дощаный счёт - прототип
русских счётов. Подобным же образом была построена и первая арифметич.
часть знаменитой "Арифметики" Л. Ф. Магницкого (1703). В геометрич.
рукописях, в большинстве своём преследовавших также практич. цели, содержалось
изложение правил определения площадей фигур и объёмов тел, часто приближённых,
использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.
3. Период создания математики
переменных величин. С 17 в. начинается
существенно новый период развития математики. "Поворотным пунктом в математике
была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли
движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым
дифференциальное и интегральное исчислени е..." (Энгельс Ф., см. Маркс
К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 573). Круг количественных отношений
и пространственных форм, изучаемых теперь М., уже не исчерпывается числами,
величинами и геометрич. фигурами. В основном это было обусловлено явным
введением в М. идей движения и изменения (см.
Переменные и постоянные
величины). Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости
между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.).
Однако чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения,
надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом
изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции, играющее
в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения,
как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных
зависимостей приводит далее к основным понятиям математич. анализа, вводящим
в М. в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной,
дифференциала и интеграла.
Создаётся анализ бесконечно малых,
в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального
исчисления, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин
с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений.
Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных
уравнений, и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве
одной из важнейших задач М. Разыскание неизвестных функций, определённых
другого рода условиями, составляет предмет ' вариационного исчисления.
Таким
образом, наряду с уравнениями, в к-рых неизвестными являются числа, появляются
уравнения, в к-рых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно
расширяется с проникновением в геометрию идей движения
и
преобразования
фигур.
Геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Напр.,
в проективной геометрии одним из осн. объектов изучения являются
сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное
развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и нач. 19 в. Гораздо раньше,
с созданием в 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось
отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода
вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич.
и анали-тич. методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность
изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически,
напр, при графич. изображении функциональных зависимостей (см. Координаты).

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере
посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения
Р(х)
= 0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить
вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближённого
вычисления, в комплексной же области привёл франц. математика Ж. Д'Аламбера
к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному
доказательству "основной теоремы алгебры" о существовании у любого алгебраич.
уравнения хотя бы одного корня. Достижения "чистой" алгебры, не нуждающейся
в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в
17-18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных
систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости
многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение
собственно алгебраич. фактов и методов от фактов и методов математич. анализа
типично лишь для более позднего времени (2-я пол. 19 в.- 20 в.). В 17-18
вв. алгебра в значит, мере воспринималась как первая глава анализа, в которой
вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения
произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.

Создание новой М. переменных величин в
17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы, в первую очередь И.
Ньютона
и
Г. Лейбница. В 18 в. одним из осн. центров научных математич. исследований
становится также Петерб. академия наук, где работал ряд крупнейших математиков
того времени иностр. происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно
складывается русская математич. школа, блестяще развернувшая свои исследования
с нач. 19 в. 17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития М. органически
связан с созданием в 17 в. математич. естествознания, имеющего целью объяснение
течения отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных
законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные
математич. исследования относятся лишь к двум областям естественных наук
- к механике [Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), И.
Кеплер - законы движения планет (1609, 1619), И. Ньютон - закон
всемирного тяготения (1687)] и к оптике [Г. Галилей (1609) и И. Кеплер
(1611) сооружают зрительные трубы, И. Ньютон развивает оптику на основе
теории истечения, X. Гюйгенс и Р. Гук - на основе волновой
теории]. Тем не менее рационалистич. философия 17 в. выдвигает идею универсальности
математич. метода (Р. Декарт, Б.
Спиноза,
Г. Лейбниц), придающую
особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи
в развитии М.

Серьёзные новые математич. проблемы выдвигают
перед М. в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела
и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика.
Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М.
Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться
на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логич.
категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям
действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала
из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не
в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это
сделать.

Математич. достижения 17 в. начинаются
открытием логарифмов (Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы
в 1614). В 1637 Р. Декарт публикует свою "Геометрию", содержащую основы
координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением
их на алгебраические и трансцендентные. В тесной связи с возможностью представить
корни уравнения Р(х) = 0 точками пересечения кривой у = Р(х)
с
осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой
степени (Р. Декарт, И. Ньютон, М. Ролль). Исследования П.
Ферма
о
максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в
себе по существу приёмы дифференциального исчисления, но самые эти приёмы
ещё не выделены и не развиты. Другим источником анализа бесконечно малых
является развитый И. Кеплером (1615) и Б. Кавальери
(1635) "неделимых"
метод, применённый ими к определению объёмов тел вращения и ряду других
задач. Так, в геометрич. форме были по существу созданы начала дифференциального
и интегрального исчисления.

Параллельно развивается учение о бесконечных
рядах.
Свойства
простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессии, изучил Дж. Валлис
(1685). Н. Меркатор (1668) получил разложение ln(1+х) в
степенной ряд. И. Ньютон нашёл (1665- 1669) формулу бинома для любого показателя,
степенные ряды функций е^х,
sin х, arc sin х. В дальнейшем
развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики
17 в. (Дж. Валлис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.).

С созданием координатного метода и распространением
представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие
отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот,
комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраич.
аппарата, продолжали быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров.

К последней трети 17 в. относится открытие
дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова.
В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу,
давшему развёрнутое изложение осн. идей нового исчисления в статьях, опубл.
в 1682-86. В отношении же времени фактического получения осн. результатов
имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону, к-рый
к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришёл в
течение 1665-66. "Анализ с помощью уравнений" И. Ньютона в 1669 был передан
им в рукописи англ, математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую
известность среди англ, математиков. "Метод флюксий" - сочинение, в к-ром
И. Ньютон дал вполне законченное систематич. изложение своей теории,- был
написан в 1670-71 (издан в 1736). Г. Лейбниц же начал свои исследования
по анализу бесконечно малых лить в 1673. И. Ньютон и Г. Лейбниц впервые
в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования
и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (т. н.
формула Ньютона - Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм.
Подход к делу у И. Ньютона и Г. Лейбница, однако, различен. Для И. Ньютона
исходными понятиями являются понятия "флюенты" (переменной величины) и
её "флюксии" (скорости её изменения). Прямой задаче нахождения флюксий
и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и
составление дифференциальных уравнений) И. Ньютон противопоставлял обратную
задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е.
сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнении; задача нахождения
первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального
уравнения



Такая точка зрения была вполне естественна
для И. Ньютона как создателя ма-тематич. естествознания: его исчисление
флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы
выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых
этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий исчисление).
Для
Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного
к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма
бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального
исчисления являлись дифференциалы - бесконечно малые приращения переменных
величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие "момента",
стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ
Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной
работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием
дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в к-рой принимали
участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли,
Г.
Лопиталъ
и др. Здесь создаётся совр. стиль мате-матич. работы, при к-ром полученные
результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро
после опубликования используются в исследованиях др. учёных.

Кроме аналитич. геометрии, развивается
в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия,
в
17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии гл. обр.
в направлении создания осн. понятий проективной геометрии. Из других открытий
17 в. следует отметить исследования по теории чисел (Б. Паскаль,
П.
Ферма); разработку осн. понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г.
Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль),
увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения - открытием
простейшей формы больших чисел закона (Я. Бернулли, опубл. в 1713).
Необходимо указать ещё на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем
(1673-74) первых счётных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практич.
последствий.

18 век. В нач. 18 в. общий стиль математич.
исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основном
новизной метода, создавался гл. обр. смелостью и глубиной общих идей, что
сближало М. с философией. К началу 18 в. развитие новых областей М., созданных
в 17 в., достигло того уровня, при к-ром дальнейшее продвижение вперёд
стало требовать в первую очередь искусства в овладении математич. аппаратом
и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач.
Из двух величайших математиков 18 в. Л. Эйлер является наиболее
ярким представителем этой виртуозной тенденции, а Ж. Лагранж,
быть
может, уступая Л. Эйлеру в количестве и разнообразии решённых задач, соединил
блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для франц.
матем. школы 2-й пол. 18 в., тесно связанной с большим филос. движением
франц. просветителей и материалистов. Увлечение необычайной силой аппарата
матем. анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматич.
развития, в безошибочность матем. выкладок даже тогда, когда в них входят
символы, лишённые смысла. Если при создании анализа бесконечно малых сказывалось
неумение логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность,
то теперь открыто проповедуется право вычислять по обычным правилам лишённые
непосредственно смысла математич. выражения, не опираясь ни на наглядность,
ни на к.-л. логич. оправдание законности таких операций. Из старшего поколения
в эту сторону всё больше склоняется Г. Лейбниц, к-рый в 1702 по поводу
интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые выражения
говорит о "чудесном вмешательстве идеального мира" и т. п. Более реалистически
настроенный Л. Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций
с мнимыми числами и с расходящимися рядами как эмпирич. факт, подтверждаемый
правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий.
Хотя работа по рациональному уяснению основ анализа бесконечно малых была
начата, систематическое проведение логич. обоснования анализа было осуществлено
лишь в 19 в.

Если виднейшие математики 17 в. очень часто
были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, то в 18
в. научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики
18 в.- это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математич.
способностями, с быстро развивающейся академич. карьерой (Л. Эйлер, происходя
из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашён адъюнктом
в Петерб. академию наук, 23 лет становится там же профессором, 39 лет -
председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук; Ж. Лагранж
- сын французского чиновника, 19 лет - профессор в Турине, 30 лет - председатель
физико-математич. класса Берлинской академии наук; П.
Лаплас - сын
франц. крестьянина, 22 лет - профессор военной школы в Париже, 36 лет -
член Парижской академии наук). При этом, однако, математич. естествознание
(механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются в сфере
деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения
и оптики, Ж. Лагранж создаёт основы аналитич. механики, П. Лаплас, считавший
себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком
своего времени и т. д.

М. 18 в. обогатилась многими выдающимися
результатами. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А.
Лежандра
теория
чисел приобретает характер систематич. науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубл.
в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер
установил (1772, опубл. в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов.
Он
же привлёк (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел
дзета-функцию,
чем
положил начало аналитич. теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби
Л. Эйлер доказал (1737, опубл. в 1744) иррациональность е и
ё²,
а
И. Ламберт (1766, опубл. в 1768) - иррациональность я. В алгебре
Г. Крамер (1750) ввёл для решения систем линейных уравнений определители.
Л. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование
у каждого алгебраич. уравнения корня вида

А + В на корень из -1. Постепенно
укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре,
но и в анализе)_ всегда приводимы к виду А + В на корень из -1.
Ж. Д'Аламбер доказал (1748), что модуль многочлена не может иметь
минимума, отличного от нуля (т. н. лемма Д'Аламбера), считая это за доказательство
существования корня у любого алгебраич. уравнения. Формулы А. Муавра
и
Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрич. функции комплексных
аргументов, привели к дальнейшему расширению применений комплексных чисел
в анализе. И. Ньютон, Дж. Стирлинг, Л. Эйлер и П. Лаплас заложили
основы конечных разностей исчисления. Б. Тейлор
открыл (1715)
свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей
18 в., особенно у Л. Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких
орудий анализа. С Ж. Д'Аламбера начинается серьёзное изучение условий сходимости
рядов. Л. Эйлер, Ж. Лагранж и особенно А. Ле-жандр заложили основы исследования
эллиптич. интегралов - первого вида неэлементарных функций, подвергнутого
глубокому специальному изучению. Большое внимание уделялось дифференциальным
уравнениям, в частности Л. Эйлер дал (1739, опубл. в 1743) первый метод
решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными
коэффициентами, Ж. Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений,
Ж. Лагранж и П. Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных
уравнений любого порядка. Л. Эйлер, Г.
Монж и Ж. Лагранж заложили
основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными
первого порядка, а Л. Эйлер, Г. Монж и П. Лаплас - второго порядка. Специальный
интерес представляет введение в анализ разложения функций в тригонометрич.
ряды, т. к. в связи с этой задачей между Л. Эйлером, Д. Бернулли, Ж.
Д'Аламбером, Г. Монжем и Ж. Лагранжем развернулась полемика по вопросу
о понятии функции, подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении
между аналитич. выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым
отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное
Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас на основе отд.
достижений 17-18 вв. заложили начала вероятностей теории.

В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению
систему элементарной аналитич. геометрии. В работах Л. Эйлера, А. Клеро,
Г.
Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференц. геометрии пространственных
кривых и поверхностей. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж
придал окончательную форму начертательной геометрии.

Из приведённого обзора видно, что М. 18
в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие
века. Этот расцвет М. был связан по преимуществу с деятельностью академий;
университеты играли меньшую роль. Отдалённость крупнейших математиков от
университетского преподавания возмещалась той энергией, с к-рой все они,
начиная с Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие
отдельные исследования, трактаты.



III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Все
созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой
интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это
время и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой.
Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в нач.
19 в. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.



1. Расширение предмета математики Накопленный
в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого
логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение
в употребление геометрия, интерпретации комплексных чисел [датский
землемер К. Вессель, 1799, и франц. математик Ж. Арган (Арганд), 1806],
доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой
степени (Н.
Абель,
1824), разработка О. Коши
основ теории
функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа
бесконечно малых, создание Н. И. Лобачевским (1826, опубл. в 1829-30)
и Я. Больяй
(1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827)
по внутренней геометрии поверхностей - типичные примеры наметившихся на
рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М.

Связь М. с естествознанием, оставаясь по
существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие
новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов
естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М.
Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного,
занявшей в начале и сер. 19 в. центральное положение во всём математич.
анализе.

Другим замечательным примером теории, возникшей
в результате внутреннего развития самой М., явилась "воображаемая геометрия"
Лобачевского (см. Лобачевского геометрия).

Можно привести ещё один пример того, как
начавшийся в конце 18 в. и 1-й пол. 19 в. пересмотр с более общих точек
зрения добытых ранее конкретных математич. фактов нашёл во 2-й пол. 19
в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория
групп
ведёт
своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи
с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней.
Э. Галуа (1830-32, опубл. в 1832, 1846) при помощи теории групп
подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости
в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В сер. 19 в. А. Кэли
дал
общее "абстрактное" определение группы. С. Ли
разработал, исходя
из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после
этого Е. С. Фёдоров (1890) и нем. учёный А. Шёнфлис (1891) установили,
что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов;
ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой
физике.

В более непосредственной и непрерывной
зависимости от запросов механики и физики происходило формирование
векторного
исчисления и тензорного исчисления. Перенесение векторных и
тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках
функционального
анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних
потребностей М., так и новых запросов естествознания круг количественных
отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется;
в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы,
векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие
форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании
терминов "количественные отношения" и "пространственные формы" приведённое
в начале статьи определение М. применимо и на новом, современном этапе
её развития.

Существенная новизна начавшегося в 19 в.
этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга
подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся
предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде,
напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная
формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь
развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного
создания новых геометрических систем, новых "алгебр" с "некоммутативным"
или даже "неассоциативным" умножением и т. д. по мере возникновения в них
потребности. Так, вопрос о том, не следует ли, напр., ради анализа и синтеза
того или иного типа релейно-контактных схем создать новую "алгебру" с новыми
правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом повседневной
научно-технич. практики. Но трудно переоценить важность той перестройки
всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти
в течение 19 в. С этой, идейной стороны наиболее значительным среди открытий
нач. 19 в. явилось открытие неевклидовой геометрии Лобачевского. Именно
на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освящённых
тысячелетним развитием М. аксиом, была понята возможность создания существенно
новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся
ранее ограничений, не имеющих внутренней логич. необходимости, и, наконец,
было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем
всё более широкие, вполне конкретные применения.

Чрезвычайное расширение предмета М. привлекло
в 19 в. усиленное внимание к вопросам её "обоснования", т. е. критич. пересмотру
её исходных положений (аксиом), построению строгой системы определений
и доказательств, а также критич. рассмотрению логич. приёмов, употребляемых
при этих доказательствах. Работы по строгому обоснованию тех или иных отделов
М. справедливо занимают значительное место в М. 19 и 20 вв. В применении
к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое
обоснование всех приёмов дифференциального и интегрального исчисления)
результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее
время в большинстве учебников (даже чисто практич.характера). Однако до
последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей
из практич. потребностей математич. теории запаздывает. Так в течение долгого
времени уже на рубеже 19 и 20 вв. было с операционным исчислением, получившим
весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием
было построено логически безупречное изложение математич. теории вероятностей.
И в настоящее время ещё отсутствует строгое обоснование многих математич.
методов, широко применяемых в современной теоретич. физике, где много ценных
результатов получается при помощи "незаконных" математич. приёмов.

Стандарт требований к логич. строгости,
остающийся господствующим в практич. работе математиков над развитием отдельных
математич. теорий, сложился только к концу 19 в. Этот стандарт основан
на теоретико-множественной концепции строения любой математич. теории (см.
Множеств
теория, Аксиоматический метод). С этой точки зрения любая математич.
теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных
между собой нек-рыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов
и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом,
не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория
применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной
в её основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться
логически строго построенной только в том случае, если при её развитии
не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых
объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые
по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются
через эти последние.

Другую сторону строения любой математич.
теории освещает математич. логика. Система аксиом в изложенном выше
(теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне область применений
данной математич. теории, указывая свойства подлежащей изучению системы
объектов с отношениями, но не даёт никаких указаний относительно логич.
средств, при помощи к-рых эту математич. теорию придётся развивать. Напр.,
свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются
при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее решение вопросов,
ответ на к-рые в принципе однозначно предопределён принятием этой системы
аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует
давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, не нашедшими
и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том,
происходит ли это только потому, что решение нек-рых просто формулируемых
проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной
из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же
потому, что для решения нек-рых проблем теории чисел необходимы существенно
новые, не употреблявшиеся ранее приёмы логич. вывода.

Современная математич. логика дала на этот
вопрос определённый ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать
разнообразия проблем теории чисел. Точнее, уже в пределах теории натуральных
чисел можно сформулировать последовательность проблем
ppтакого рода, что для любой дедуктивной
теории среди этих проблем найдётся неразрешимая в пределах данной теории
(К. Гёделъ). При этом под "дедуктивной теорией" понимается теория,
к-рая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь
угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих
к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов
логич. вывода.

Таким образом было обнаружено, что понятие
математич. теории в смысле теории, охватываемой единой системой аксиом
теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логич. понятие дедуктивной
теории: даже при развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное
обращение к существенно новым способам логич. рассуждений, выходящим за
пределы любого конечного набора стандартизированных приёмов.

Все те результаты, к-рые могут быть получены
в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением,
производимым по данным раз навсегда правилам. Если

для решения нек-рого класса проблем даётся
строго определённый рецепт их вычислительного решения, то говорят о математич.
алгоритме.
С
самого создания достаточно разработанной системы математических знаков
проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов
занимали большое место в истории М. Но только в последние десятилетия в
результате развития математич. логики начала создаваться общая теория алгоритмов
и "алгоритмической разрешимости" математич. проблем. Практич. перспективы
этих теорий, по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным
развитием вычислит, техники, позволяющей заменить сложные математич. алгоритмы
работой машин.



2. История математики в 19 в. и начале
20 в. Начало и середина 19 в.
В нач. 19 в.< происходит новое
значит, расширение области приложений математич. анализа. Если до этого
времени осн. отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата,
оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика,
теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие
разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамика несжимаемой
идеальной жидкости была создана ещё в 18 в. Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж.
Д'Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математич. запросы техники.
В нач. 19 в.- это вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики,
баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической
физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с
частными производными и особенно теория
потенциала.
В этом направлении
работает большинство крупных аналитиков начала и середины века - К. Гаусс,
Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле,
Дж.
Грин,
М.
В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного
исчисления для функций нескольких переменных. В результате исследований
по уравнениям математич. физики в работах Дж.
Стокса и др. англ,
математиков возникает векторный анализ.

Несмотря на господствовавшее в естествознании
начала 19 в. механистич. убеждение в возможности описать все природные
явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики
получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. П. Лаплас
и С. Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитич. аппарат. П. Л.
Чебышев
даёт
строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую
теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее
формы закона больших чисел.

Как уже отмечалось, наряду с развитием
работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное
внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого
обоснования анализа (О. Коши, 1821, 1823). Н. И. Лобачевский (1834) и,
позднее, П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции
как совершенно произвольного соответствия. В 1799 К. Гаусс опубликовал
первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако,
эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного
многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно
позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел.

На основе ясного понимания природы комплексных
чисел возникает теория функций комплексного переменного. К. Гаусс очень
много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы
теории были заложены О. Коши, теория эллиптич. функций была развита Н.
Абелем и К. Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто
алгоритмич. подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия
поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь
геометрич. закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда
Тейлора от расположения особых точек, открытой О. Коши). Этот в известном
смысле слова "качественный" и геомет-рич. характер теории функций комплексного
переменного ещё усиливается в сер. 19 в. у Б. Римана. Здесь оказывается,что
естественным геометрич. носителем аналитич. функции в случае её многозначности
является не плоскость комплексного переменного, а т. н. риманова поверхность,
соответствующая данной функции. К. Вейерштрасс достигает той же
общности, что и Б. Риман, оставаясь на почве чистого анализа. Однако геометрич.
идеи Б. Римана оказываются в дальнейшем всё более определяющими весь стиль
мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного
переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории
функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким
выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебышевым,
исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

В алгебре после упомянутого доказательства
неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини,
Н.
Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах
зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория).
Задача
общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить,
что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только
после работ К. Жордана в 70-х гг. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт
начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию новой
науки - алгебраич. теории чисел. На существенно новую ступень поднимается
в 19 в. и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими
свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости
чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848, 1850) основные
результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П.
Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых
чисел в арифметич. прогрессиях и т. д.

Дифференциальная геометрия поверхностей
создаётся К. Гауссом (1827) и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки
новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано,
имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась,
долгое время независимо от неевклидовой геометрии, проективная геометрия
(Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт
и др.), также связанная
с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер
строит
геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грасман
создаёт
аффинную и метрич. геометрию и-мерного векторного пространства.

Уже в гауссовской внутренней геометрии
поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается
от неразрывной связи с геометрией Евклида: то, что поверхность лежит в
трёхмерном евклидовом пространстве, является для этой теории случайным
обстоятельством. Исходя из этого, Б. Ри-ман создаёт (1854, опубл. 1866)
концепцию w-мерного многообразия с метрич. геометрией, определяемой дифференциальной
квадратичной формой. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии
я-мерных многообразий (см. Римановы геометрии). Б. Риману же принадлежат
и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.



Конец 19 в. и начало 20 в. Лишь
в начале 70-х гг. 19 в. Ф. Клейн находит модель неевклидовой геометрии
Лобачевского, к-рая окончательно устраняет сомнения в её непротиворечивости.
Ф. Клейн подчиняет (1872) всё разнообразие построенных к этому времени
"геометрий" пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов
той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию
анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных
чисел (Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879-84
публикуются основные работы Г. Кантора по общей теории бесконечных множеств.
Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления
о предмете М., строении математич. теории, роли аксиоматики и т. д. Широкое
их распространение потребовало ещё нескольких десятилетий (общее признание
совр. концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет
в 1899 "Оснований геометрии" Д. Гильберта).

Дальнейшее углубление исследований по основаниям
математики сосредоточивается на преодолении логич. трудностей, возникших
в общей теории множеств, и на исследовании строения математич. теории и
приёмов конструктивного решения Математич. задач средствами математич.
логики. Эти исследования возрастают в большой самостоятельный отдел М.-
математич. логику. Основы математич. логики создаются в 19 в. Дж. Булем,
П.
С. Порецким, Э. Шредером, Г. Фреге, Дж. Пеано я
др.
В нач. 20 в. в этой области получены большие достижения (теория
доказательств
Д.
Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л.
Брауэром и его
последователями). Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды
не только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов
и окончательности результатов, получают в конце 19 в. и в нач. 20 в. все
разделы М., начиная с самого старого из них - теории чисел. Э.
Куммер,
Л.
Кронекер,
Р.
Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт закладывают основы совр.
алгебраич. теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность
числа
е,
нем. математик Ф. Линдеман в 1882 - числа я, Ж. Адамар
(1896)
и Ш. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева
о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду.
Г. Минковский
вводит в теоретико-числовые исследования геометрич.
методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают,
кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной
и
А. А. Марков.

Центр тяжести алгебраич. исследований переносится
в её новые области: теорию групп, полей, колец и т. д. Многие из этих отделов
алгебры получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория
групп - в кристаллографии, а позднее - в вопросах квантовой физики.

На границе между алгеброй и геометрией
С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы к-рой позднее
проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают
внимание математиков гл. оор. под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич.
основ. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные
научные силы, становятся дифференциальная и алгебраическая геометрия.
Дифференц.
геометрия евклидова трёхмерного пространства получает полное систематич.
развитие в работах Э. Бельтрами, Г.
Дарбу
и др. Позднее бурно
развивается дифференц. геометрия различных более широких (чем группа евклидовых
движений) групп преобразований и особенно дифференц. геометрия многомерных
пространств. Это направление геометрич. исследований, получившее мощный
импульс к развитию с возникновением общей теории относительности, создано
прежде всего работами Т. Леви-Чивита,
Э.
Картона и Г. Вейля.

В связи с развитием более общих точек зрения
теории множеств и теории функций действительного переменного теория аналитических
функций в конце 19 в. лишается того исключительного положения ядра
всего математич. анализа, к-рое намечается для неё в начале и сер. 19 в.
Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии
со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых
связей её с др. отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно
существенным в этом последнем направлении было выяснение роли
конформных
отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными
(напр., задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений
идеальной жидкости и в задачах теории упругости.

Ф. Клейн и А. Пуанкаре
создают теорию
автоморфных функций, в к-рой находит замечательные применения геометрия
Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борелъ
глубоко
разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить
уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрич.
теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А. Пуанкаре, Д.
Гильберт и др. Конформные отображения находят применение в аэромеханике
(Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин).

В результате систематич. построения математич.
анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории
множеств возникла новая отрасль М.-теория функций действительного переменного.
Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие "естественно"
из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного
переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма
общих понятий анализа (в самом начале её развития Б. Болъцано
и
позднее К. Вейерштрассом было, напр., обнаружено, что непрерывная функция
может не иметь производной ни в одной точке). Исследования по теории функций
действительного переменного привели к общим определениям понятий
меры
множества, измеримых функций и интеграла, играющих важную роль
в совр. М. Основы совр. теории функций действит. переменного заложили математики
франц. школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая
роль переходит к русской и советской школе (см. Функций теория).

Помимо своего непосредственного интереса,
теория функций действит. переменного оказала большое влияние на развитие
многих других отделов М. Выработанные в её пределах методы оказались особенно
необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении
методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного
переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых
в нём задач он примыкает непосредственно к классич. анализу и математич.
физике, становясь особенно необходимым (гл. обр. в форме операторов
теории) в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального
анализа как особой ветви М. было произведено В. Волътерра в конце
19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее
много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений,
систематич.
построение к-рой было начато тем же В. Вольтерра и продолжено Э. Фредголъмом.
Наиболее
важный специальный случай операторов в
гильбертовом пространстве,
основная
роль к-рого выяснилась из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям,
разрабатывается особенно интенсивно.

Наибольшее число задач, выдвигаемых перед
М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений,
как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы),
так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в
квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных
уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения
сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При
исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется
метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитич. теория
обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее
внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают
теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых
точек (А. Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко
изученные А. М. Ляпуновым.

Качественная теория дифференциальных уравнений
послужила А. Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва
намеченных Б. Риманом исследований по топологии многообразий, особенно
в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на
самих себя. Здесь получили своё начало "комбинаторные", "гомологические"
и "гомотопические" методы совр. топологии. Другое направление в
топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и
привело к систематич. построению теории общих топологич. пространств.

Теория дифференциальных уравнений с частными
производными ещё в конце 19 в. получает существенно новый вид благодаря
сосредоточению основного внимания на краевых задачах и отказу от
ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитич. теория, восходящая
к О. Коши, К. Вейерштрассу и С. В. Ковалевской, не теряет при этом
своего значения, но несколько отступает на задний план, т. к. обнаруживается,
что при решении краевых задач она не гарантирует корректности, т. е. возможности
приближённо найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближённо,
в то время как без этой возможности теоретич. решение не имеет практич.
ценности. Картина более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитич.
теории: краевые задачи, к-рые можно корректно ставить для разных типов
дифференциальных уравнений, оказываются различными (см.
Корректные и
некорректные задачи). Наиболее надёжным путеводителем в выборе для
каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное
обращение к соответствующим физич. представлениям (о распространении волн,
течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных
уравнений с частными производными гл. обр. в теорию уравнений математической
физики имело большое положительное значение. Работы по отдельным типам
уравнений математич. физики справедливо составляют значительную часть всей
математич. продукции. После П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математич.
физики занимались А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Дж. Рэлей, У.
Томсон,
К.
Нейман,
Д.
Гильберт, а в России А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов
и др.

Существенным дополнением к методам дифференциальных
уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы
теории вероятностей. Если в нач. 19 в. главными потребителями вероятностных
методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце
19 в. и в нач. 20 в. теория вероятностей получает много новых применений
благодаря развитию статистич. физики и механики и разработке аппарата математической
статистики. Наиболее глубокие теоретич. исследования по общим вопросам
теории вероятностей в конце 19 в. ив нач. 20 в. принадлежат русской школе
(П.Л.Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов).

Практич. использование результатов теоретич.
математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу
в числовой форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора
задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В конце 19 в. и в
нач. 20 в. численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь
М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования
дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным
формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие
работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления
и публикации всё возрастающего количества таблиц математических.

Со 2-й пол. 19 в. начинается интенсивная
разработка вопросов истории М. По материалам статьи А. Н. Колмогорова
из 2-го издания БСЭ.



Заключение. Выше были отмечены основные
особенности современной М. (п. 1) и были перечислены (п. 2) основные направления
исследований М. по разделам, как они сложились в начале 20 в. В значительной
мере это деление на разделы сохраняется, несмотря на стремительное развитие
М. в 20 в., особенно после окончания 2-й мировой войны 1939-45. Современное
состояние М. и заслуги научных школ и отдельных учёных отражены в соответствующих
статьях. См. Чисел теория, Алгебра, Логика, Геометрия, Топология, Функций
теория, Функциональный анализ, Дифференциальные уравнения, Уравнения математической
физики, Вероятностей теория, Математическая статистика, Вычислительная
математика.

Потребности развития самой М., "математизация"
различных областей науки, проникновение математич. методов во многие сферы
практич. деятельности, быстрый прогресс вычислит, техники приводят к перемещению
основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению
целого ряда новых математич. дисциплин (см., напр., Алгоритмов теория,
Информации теория, Игр теория, Операций исследование,
см. также Кибернетика).

На основе задач теории управляющих систем,
комбинаторного
анализа, графов теории, теории кодирования
возникла дискретная,
или конечная математика.

Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле)
управлении физич. или меха-нич. системами, описываемыми дифференциальными
уравнениями, привели к созданию математич. теории оптимального управления,
близкие
вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях - к возникновению
и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления
и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислит, техники
дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Советская М. занимает передовое место в
мировой математич. науке. Во многих направлениях работы сов. учёных играют
определяющую роль. Успехи дореволюционной русской М. были связаны с исследованиями
отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математич.
центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков,
Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петерб. школы.
После Великой Октябрьской социалистич. революции ряд новых важных направлений
возник в московской математич. школе. В дореволюционной России основными
центрами математич. исследований являлись университеты (Петербургский,
Московский, Казанский и др.). Развитие науч. исследований в области М.
и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием
и укреплением АН СССР; эти исследования в значит, мере сконцентрированы
в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих
ун-тах. Важной чертой развития М. в нашей стране является возникновение
за годы Сов. власти многочисл. науч. школ в городах, где раньше не велось
заметной работы в области М. Таковы матем. школы в Тбилиси, Ереване, Баку,
Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и др. городах и созданная в 60-х
гг. науч. школа в Академгородке, близ Новосибирска.

В зарубежных странах математич. исследования
ведутся как в математич. ин-тах, так и в ун-тах (особенно в капиталистич.
странах).

Ещё на рубеже 17-18 вв. появились первые
математические
общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых
достижениях математич. науки и её приложений, а также сообщения о наиболее
интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих
раз в 4 года (начиная с 1898) международных
математических конгрессах.
Организация
и поощрение между нар. сотрудничества в области М., подготовка научных
программ междунар. математич. конгрессов и др. является задачей международного
математического союза. Текущие математич. исследования (а также
информация о математич. жизни в различных странах) публикуются в математических
журналах, общее число к-рых (нач. 70-х гг. 20 в.) более 250.

Лит.: <Философия и история математики.
Колмогоров
А. Н., Математика, в кн.: Большая Советская энциклопедия, 2 изд., т. 26,
М., 1954; Математика, её содержание, методы и значение, т. 1-3, М., 1956;
Ц е и т е н Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер.
с франц., 2 изд., М.-Л., 1938; его же, История математики в XVI и XVII
веках, пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1938; В а н - д е р-В а р д е н Б.
Л., Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона, Греции,
пер. с голл., М., 1959; Кольмай Э., История математики в древности, М.,
1961; Юткевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; В и л
е и т н е р Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия,
пер. с нем., 2 изд., М., 1966; его же, Хрестоматия по истории математики,
составленная по первоисточникам..., пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1935;
Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч.
1, М.- Л., 1937; Рыбников К. А., История математики, т. 1-2, М., 1960-
1963; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, пер. с франц., М., 1963;
Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М.,
1969; История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т.
1-3, М., 1970- 1972; Cantor M., Vorlesungen liber Geschichte der Mathematik,
3 Aufl., Bd 1 - 4, Lpz., 1907 - 13.



Обзоры и энциклопедии.
Виноградов
И. М., Математика и научный прогресс, в кн.: Ленин и современная наука,
кн. 2, М., 1970; Математика. [Сб. ст.], М.- Л., 1932 (Наука в СССР за 15
лет. 1917 -1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. ст.,
М.- Л. 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 1957. Сб. ст т. 1,
М., 1959; W е у 1 Н., A Half-century or mathematics, "American Mathematical
Monthly", 1951, v. 58, № 8, p. 523 - 53; Энциклопедия элементарной математики,
кн. 1-5, М.- Л., 1951 - 1966; Вебер Г. иВелыптейн И., Энциклопедия элементарной
математики, пер. с нем., т. 1 - 3, 2 изд., Одесса, 1911 - 14; Enzyklopadie
der mathematischen Wissenschaf-ten, mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd
1-6, Lpz., 1898 - 1934; тоже, 2 Aufl., Bd 1-, Lpz., 1950-; Encyclopedic
des siences mathe-matiques pures et appliquees, t. 1 - 7, P.- Lpz., 1904-14;
Mathematik, 6 Aufl., Lpz., 1971 (Kleine Enzyklopadie); Mathematisches Worterbuch,
2 Aufl., Bd 1-2, В.- Lpz., 1962.