МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ
картографическая
дисциплина, изучающая теорию картографических проекций,
преобразований
их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на
практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к
математич. обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также
способы и средства измерений на картах (см. Картометрия).
М. к.
тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографич. и др. дисциплинами.
На первых этапах (6 в. до н. э. - 17 в. н. э.) развития М. к. изобретались,
исследовались и использовались отд. картографич. проекции, затем (18 в.-
нач. 20 в.) изучались также отд. классы проекций и др. совокупности их.
С сер. 20 в. успешно развивается теория
создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или
групп проекций, а также теория преобразований их. Методы совр. М. к. механизируются
и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.
В М. к. различают прямую и обратную задачи.
Система (2) приводит к генетической классификации
Одной из центральных проблем М. к. является
Лит.: Соловьёв М. Д., Математическая
Прямая задача М. к. - исследование свойств картографич. проекций, заданных
уравнениями вида x = f
решается формулами теории искажений. Обратная задачам, к. имеет целью восстановление
уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям
искажений. В процессе историч. развития М. к. использовались различные
методы построения проекций: геометрич., аналитич., графоаналитич. и др.,
применимые, однако, к получению отд. проекций или довольно узких совокупностей
их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной
задачи М. к., следует из системы Эйлера - Урмаева
где т и п - масштабы по
меридианам и параллелям, е - угол между их изображениями, 7 - сближение
меридианов. Это - система двух квазилинейных уравнений с частными производными
1-го порядка (напр., n
(2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения
искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки
зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования
проекций с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы
теории искажений и нек-рые их модификации относят к основным уравнениям
М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного
анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное
исчисление и др.
кар-тографич. проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций
и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие
класса проекций как такой совокупности их, к-рая [после доопределения системы
(2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой
двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; напр.,
класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и др. Системы классов
проекций могут быть эллиптич., гиперболич. и др. типов, в соответствии
с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет
фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся
в априорном предсказании нек-рых свойств новых проекций. Таким образом,
М. к.- это своеобразный "арсенал" картографич. науки и картогра-фич. производства,
в спец. "рубриках" к-рого находятся определённые классы и др. совокупности
картографич. проекций. Для конкретного производственного задания оттуда
может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).
задача построения наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. проекций,
в к-рых искажения в к.-л. смысле сведены к минимуму. Она полностью ещё
не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями
этой задачи занимались многие известные учёные (Л. Эйлер,
К.
Гаусс,
П.
Л. Чебышев и др.). Проблема ставится двояко: для заданной области
изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества
проекций (идеальные проекции), либо из определённого класса (наилучшие
проекции класса). В обоих случаях задача с математич. точки зрения обращается
в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют
различные постановки: обращаясь, напр., к теории наилучших приближений,
говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией
квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного
типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографич. проекций приводит
к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и др. До конца исследован
лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева -
Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области
является та, крайняя изокола в к-рой совпадает с контуром изображаемой
территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются
от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули
логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему
минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезич.
линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин
также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских
проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого
(но и важного для практики) среди всех др. классов. Примером чебышевской
проекции является стереографич. проекция, к-рая при изображении на плоскости
сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной
удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций
детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева -
Граве справедлива для ряда нек-рых др. классов проекций, неконформных,
но эллиптич. типа.
картография, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической
картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии,
"Тр. Новосибирского ин-та инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии",
1967, т. 20; К а в р ай с кий В. В., Современные задачи математической
картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург
Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных
карт, "Геодезия и картография", 1958, N° 12; Павлов А. А., Математическая
картография, в сб.: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972,
с. 53-66. Г.А.Мещеряков.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я