МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ И ИГРЫ
Математическими развлечениями называют обычно разнообразные задачи и упражнения занимат.
характера, требующие проявления находчивости, смекалки, оригинальности
мышления, умения критически оценить условия или постановку вопроса; в частности
- головоломки, задачи на превращение одной фигуры в другую путём разрезания
и переложения частей, фокусы, основанные на вычислениях, матем. игры. К
математическим играм относят либо игры, имеющие дело с числами, фигурами
и т. п., либо игры, исход к-рых может быть предопределён предварительным
теоретич. анализом. С появлением и развитием матем. игр теории термин
"матем. игры" (в смысле этой статьи) постепенно выходит из употребления.
Игра Баше. Из кучки, содержащей
п (напр.,
35) предметов, двое играющих берут поочерёдно не более чем по т (напр.,
5) предметов. Выигрывает тот, кто возьмёт последние предметы. Теория игры
устанавливает, что если п не делится на т + 1, то начинающий игру
непременно выиграет, если каждый раз будет оставлять партнёру число предметов,
кратное т + 1 (в примере - кратное 6).
Игра "15". Играет один человек. На шестнадцатиклеточной
доске расположены в случайном порядке 15 перенумерованных шашек. Передвигая
шашку одну за другой на свободную клетку с любой из смежных с ней клеток,
требуется упорядочить расположение шашек (привести к нормальному расположению
- положению I, указанному на рис. 1). Теоретич. анализ игры, известный
с 1879, показывает, что задача может быть решена только в том случае, если
число инверсий (т. е. число нарушений нормального расположения),
образуемых номерами шашек в исходном положении, имеет ту же чётность, что
и номер строки, в к-рой есть свободная клетка. Чтобы установить число инверсий,
надо для каждой шашки подсчитать число предшествующих ей шашек с большим
номером и сложить все эти числа; их сумма и равна искомому числу инверсий.
При этом устанавливается след, последовательность в исходном расположении
шашек: слева направо вдоль строк и сверху вниз при переходе от одной строки
к другой. Напр., в расположении II (см. рис. 1) число инверсий четно (равно
38), а свободная клетка находится в чётной (во 2-й) строке, т. е. расположение
II может быть приведено к нормальному. Напротив, расположение III привести
к нормальному невозможно, т. к, число инверсий в нём нечётно (равно 1:
шашка с № 15 предшествует шашке с № 14), а свободная клетка находится в
4-й строке (в строке с чётным номером).
Полное матем. обоснование имеется также
у таких М. р. и и., как вычерчивание фигур одним росчерком, лабиринты,
комбинированные задачи на шахматной доске и др. Большая группа М. р. и
и. пластинку с любого столбика на любой другой, но нельзя класть большую
пластинку выше меньшей.
М. р. и и. пользовались вниманием многих
крупных учёных [Леонардо Пизанский (13 в.), Н. Тарталъя
(16
в.), связана с поисками оригинальных и красивых решений задач, допускающих
практически неисчерпаемое или даже бесконечное множество решений.
К числу таких развлечений относится, напр.,
"составление паркетов" - задача о заполнении плоскости правильно чередующимися
фигурами одного и того же вида (напр., одноимёнными правильными многоугольниками)
или нескольких данных видов. Если "двухцветный квадратный паркет" с осями
симметрии А'А и В'В (см. рис. 2) составляется из 4n2 равных
квадратов, каждый из к-рых разбит диагональю на белую и чёрную половины,
то число различных паркетов равно
4п2 (это число быстро
растёт при возрастании га).
Очень большое, до сих пор точно не установленное
число решений имеют также: задача Эйлера о шахматном коне - обойти ходом
коня шахматную доску, побывав на каждой клетке по одному разу, и задача
о составлении многоклеточных магических квадратов. В подобного рода
задачах интересуются обычно определением числа решений, разработкой методов,
дающих сразу большие группы решений. Матем. содержание ряда других М. р.
и и.- в установлении наименьшего числа операций, необходимых для достижения
поставленной цели. К таким развлечениям относятся: задачи типа "переправ",
"размещений" или игры, аналогичные игре "ханойская башня", суть к-рой в
подсчёте числа ходов, необходимых для перенесения пластинок со столбика
Л (см. рис. 3) на столбик С, пользуясь столбиком В, если за один
ход можно переносить лишь одну.
Дж. Кардано (16 в.), Г. Монж
(2-я
пол. 18 - нач. 19 вв.), Л. Эйлер (18 в.) и др.]. Сборники М. р.
и и. начали появляться с 17 в. Содействуя повышению интереса учащихся к
математике, развитию сообразительности, настойчивости и внимания, М. р.
и и. применяются также и в пед. процессе. В России это нашло отражение
уже в "Арифметике" Л. Ф. Магницкого (1703) и даже в матем. рукописях 17
в.
Лит.: Игнатьев Е. И., В царстве
смекалки или арифметика для всех, 2 изд., кн. 1 - 3, М.- Л., 1924-25; К
о р д е м с к и й Б. А., Математическая смекалка, 8 изд., М., 1965; Перельман
Я. И., Живая математика, 9 изд., М., 1970; его же, Занимательная арифметика,
9 изд., М., 1959; его же, Занимательная алгебра, 12 изд., М., 1970; его
же, Занимательная геометрия, 11 изд., М., 1959; Ш у б е р т Г., Математические
развлечения и игры, пер. с нем., Одесса, 1911; Арене В., Математические
игры, пер. с нем., Л.- М., 1924; Гарднер М., Математические чудеса и тайны.
Математические фокусы и головоломки, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; его
же, Математические досуги, пер. с англ., М., 1972.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я