МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНТУИЦИОНИЗМ
философско-матем.
течение, отвергающее теоретико-множеств. трактовку математики и считающее
интуицию единств, источником математики и гл. критерием строгости её построений.
Восходящая к античной математике интуиционистская традиция в той или иной
степени разделялась такими учёными, как К. Ф. Гаусс,
Л. Кронекер,
А.
Пуанкаре,
А.
Лебег, Э. Борель,
Г. Вейль.
С развёрнутой критикой
классической математики и радикальной программой интуиционистского переустройства
математики выступил в нач. 20 в. Л. Э. Я. Брауэр. Формирование этой
программы, к-рую ныне и принято называть •"интуиционизмом" (сам Брауэр
использовал термин "неоинтуиционизм"), проходило в острой полемике с математическим
формализмом на фоне вызванного
антиномиями теории множеств кризиса
оснований математики. Брауэр решит, образом отвергал как веру в актуальный
характер бесконечных множеств (см. Бесконечность в математике),
так и правомерность экстраполяции в область бесконечного выработанных для
конечных совокупностей законов традиционной логики. Согласно интуиционистским
воззрениям, предметом исследования математики являются умственные построения,
рассматриваемые как таковые "безотносительно к таким вопросам о природе
конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо
от нашего знания о них" (А. Гейтинг, Нидерланды). Матем. утверждения -
суть нек-рая информация о выполненных построениях. Обращение с умственными
построениями требует особой логики - т. н. интуиционистской логики, не
принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объёме исключённого
третьего принципа.
В серии статей начиная с 1918 Брауэр и
его последователи осуществили построение осн. разделов интуиционистской
математики - теории множеств, матем. анализа, топологии, геометрии и т.
д. В настоящее время (70-е гг. 20 в.) интуиционистская математика является
достаточно глубоко разработанным направлением. Требования интуиционистской
программы обоснования математики приводят к тому, что нек-рые разделы традиционной
математики приобретают весьма необычный вид. Это связано с отказом рассматривать
актуально заданные бесконечные множества как объект исследования и с требованием
эффективности всех осуществляемых построений. Весьма своеобразным является
основное орудие М. и.- концепция свободно становящейся последовательности
(в другой терминологии - последовательности выбора) и связанная с ней новая
трактовка числового континуума как "среды становления" последовательности
измельчающихся рациональных интервалов (в противовес традиционной точке
зрения, конструирующей континуум из отдельных точек). В своей простейшей
форме свободно становящаяся последовательность (ссп) есть функция, перерабатывающая
натуральные числа в натуральные и такая, что любое её значение может быть
эффективно вычислено. Точное исследование показывает, что следует различать
несколько видов ссп в зависимости от степени информации, известной исследователю
о ссп.
Считая критерием верности построений прежде
всего интуицию, и в противовес формализму, Брауэр возражал против попыток
формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской
логики. Но "интуиция" интуиционизма, независимо от филос. установок и взглядов
на неё Брауэра и Вейля,- это, в основной своей части, наглядная умственная
убедительность простейших конструктивных процессов (см. Конструктивная
математика), складывающаяся у людей в процессе их социального развития,
обучения и воспитания и как таковая вполне допускающая исследование точными
методами.
Значит, успехи были достигнуты в изучении
интуиционистской логики именно после того, как осн. её законы были точно
сформулированы в виде исчислений, к к-рым можно было применять точные методы
матем. логики. Можно упомянуть, напр., известную интерпретацию интуиционистского
исчисления предикатов, предложенную А. Н. Колмогоровым,
погружение
классической формальной арифметики в интуиционистскую (К.
Гёдель), доказательство
независимости логических связок и невозможность представления интуиционистского
исчисления предикатов в виде конечнозначной логики (К. Гёдель), теорию
моделей для интуиционистской логики и мн. другие факты, выясняющие значение
и особенности интуиционистской логики по сравнению с классической, к-рые
принципиально не могли бы быть получены без предварительной точной формулировки.
Точная формулировка законов интуиционистской логики и .интуиционистской
арифметики была предложена уже в 30-е гг. 20 в. Гейтингом. Удовлетворительное
построение теории ссп и более высоких разделов интуиционистской математики
было завершено лишь к 70-м гг. (С. К. Клини и др.).
М. и. находится в стадии дальнейшей интенсивной
разработки. Внимание М. и. к эффективности получаемых результатов находится
в прекрасном согласии с вычислит, тенденцией в совр. математике и привлекает
к интуиционистской логике большое число плодотворно работающих математиков.
В СССР группа математиков-логиков во главе с А. А. Марковым занимается
разработкой конструктивной математики - близкого к М. и. направления (см.
Конструктивное
направление в математике).
Лит.: Вейль Г., О философии математики.
Сборник работ, пер. с нем., М.-Л., 1934; Гейтинг А., Интуиционизм, пер.
с англ., М., 1965; Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств,
пер. с англ., М., 1966. А. Г. Драгалин, Б. А. Кушнер.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я