МЕТАТЕОРЕМА
(от мета...), теорема относительно объектов (понятий, определений, аксиом,
доказательств, правил вывода, теорем и др.) к.-л. научной теории (т. н.
п р е д м е т н о й, или объектной, теории), доказываемая средствами метатеории
этой теории. Термин «М.» употребляется преимущественно в применении к теоремам
об объектах формализованных теорий (т. е. в случае, когда предметная теория
является исчислением, или формальной системой). Если М., относящаяся к
к.-л. логико-матемгтич. исчислению, доказывается т. н. финными средствами,
ни в какой форме не использующими абстракции актуальной бесконечности,
то её относят к метаматематике;
таковы, напр., теорема о дедукции
для исчисления высказываний или исчисления предикатов, теорема Гёделя о
неполноте формальной арифметики и более богатых систем (см. Полнота
в
логике), теорема Чёрча о неразрешимости разрешения проблемы для
исчисления предикатов, теорема Тарского о неопределимости предиката истинности
для широкого класса исчислений средствами самих этих исчислений. Если же
на характер трактуемых в М. понятий и (или) на средства её доказательства
не накладывается никаких финитист-ских, или конструктивистских (см. Конструктивное
направление в математике), ограничений, то такую М. причисляют к т.
н. теоретико-множественной логике предикатов; примеры: теорема Гёделя о
полноте исчисления предикатов, теорема Лёвенхейма - Сколема об интерпретируемости
любой непротиворечивой теории на области натуральных чисел и вообще любые
предложения, в к-рых говорится что-либо о "произвольной интерпретации",
"совокупности всех интерпретаций", "общезначимости" и т. п. (в частности,
все результаты о категоричности различных систем аксиом, т. е. об изоморфизме
произвольных
их интерпретаций, удовлетворяющих, быть может, некоторым дополнительным
условиям). К М. относятся и любые теоремы о теоремах содержательных математич.
теорий, напр, многочисл. "принципы двойственности" из различных областей
математики (проективная геометрия, многие алгебраические теории и др.).
Лит. см. при статьях Метаматематика,
Метатеория.
Ю. А. Гостев.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я