МЕТАТЕОРИЯ
(от мета...), теория,
анализирующая структуру, методы и свойства к.-л. другой теории - т. н.
предметной теории, или объектной. Термин "М." осмысленно употребляется
лишь по отношению к нек-рой конкретной предметной теории; так, М. логики
наз. металогикой, М. математики -метаматематикой; аналогичный
смысл имеют термины "метахимия", "метабио-логия" и т. п. (за исключением
"метафизики"), В принципе можно говорить о М. любой научной дисциплины,
как дедуктивной, так и недедуктивной (напр., метатеоретич. роль в известном
смысле играет философия); однако по-настоящему продуктивным понятие М.
оказывает-ся в применении именно к дедуктивным наукам: математике, логике
и математи-зированным фрагментам естествознания др. наук (напр., лингвистики).
Более того, фактич. объектом рассмотрения в М. оказывается, как правило,
не сама по себе та или иная содержательная науч. теория, а её формальный
аналог и экс-пликат - точное понятие исчисления формальной системы);
если
же подле-жашая исследованию в М. теория носит содержательный характер,
то она пред-варительно подвергается формализации. Т. о., часть М.,
изучающая структуру предметной теории, имеет дело именно как с формальной
системой, т. е. воспринимает её элементы как ли-шенные какого бы то ни
было "содержа-ния" (смысла) чисто формальные кон-структивные объекты,
строго
идентифи-цируемые (или, наоборот, различаемые) между собой, из к-рых по
чётко сформулированным правилам образования строятся знакосочетания, являющиеся
"выражениями" (формулами) данной формальной системы. Эта часть М.- т. н.
синтаксис - изучает также дедуктивные средства рассматриваемой предметной
теории (см. Дедукция); в ней, в частности, определяется понятие
(формального) доказательства для данной предметной теории, а также
более общее понятие вывода из данных посылок. Сама М., в отличие от предметной
теории, есть теория содержательная: характер используемых в ней средств
описания, рассуждения и доказательства может быть к.-л. спец. образом оговорён
и ограничен, но во всяком случае сами эти средства суть содержательно понимаемые
элементы обычного (естественного) языка и "логики здравого смысла". Основное
содержание М. составляют метатеоремы, или "теоремы о теоремах".
Примером синтаксич. метатеоремы может служить теорема о дедукции, устанавливающая
связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории
(напр., в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логич. операцией
импликации,
входящей
в "алфавит" данной предметной теории.
В круг интересов М. входит также рассмотрение
всевозможных интерпретаций исследуемой формальной системы; соответствующая
часть (или аспект) М., воспринимающая предметную теорию как формализованный
язык, наз. семантикой (см. Логическая семантика). Примером семантич.
метатеоремы является теорема о полноте классич. исчисления высказываний,
согласно к-рой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной
теоремы) и формулы, истинной при нек-рой "естественной" его интерпретации,
совпадают.
Многие понятия М. (и относящиеся к ним
метатеоремы) носят "смешанный" характер: и синтаксический, и семантический.
Таково, напр., важнейшее понятие непротиворечивости, определяемое
и как невыводимость в предметной теории формального противоречия (т. е.
конъюнкции
нек-рой
формулы и её отрицания; т. н. внутренняя непротиворечивость), и
как "соответствие" данной предметной теории нек-рой её "естественной" интерпретации
(т. н. внешняя, или семантическая, непротиворечивость); совпадение обоих
этих понятий по объёму есть нетривиальный факт М., относящийся, очевидно,
и к синтаксису, и к семантике данной теории. Классич. примером метатеоремы,
связывающей ряд важнейших синтаксич. и семантич. понятий, являются теоремы
Гёделя
о
неполноте формальной арифметики (и содержащих её более богатых логико-математич.
исчислений) и о невозможности доказательства непротиворечивости широкого
класса исчислений формализуемыми в этих исчислениях средствами. Понятие
разрешимости формальной теории носит, напротив, чисто синтаксич. характер,
а понятие полноты - по преимуществу семантический. М., конечно,
сама может быть формализована и быть предметом изучения нек-рой метаметатеории
и т.д.
Понятие "М." впервые было выдвинуто Д.
Гильбертом
в
связи с его программой обоснования классич. математики средствами создаваемой
его школой теории доказательств (метаматематики). Ряд важнейших метатеоретич.
результатов (гл. обр. семантич. содержания) был получен А.
Тарским.
В
развитие идей Тарского и Р. Карнапа, X. Б. Карри называет М. "эпитеорией",
резервируя термин "М." для нек-рого более специального словоупотребления.
См. также Аксиоматический метод, Метаязык, Математический формализм.
Лит.: К л и н и С. К., Введение
в метама-i тематику, пер. с англ., М., 1957, гл.111-VIII, XIV, XV: Ч ё
р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960
(введение); его же, Математическая логин ка, пер. с англ., М., 1973; Карри
X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 2-3.
Ю. Л. Гастев.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я