МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ поверхности,
у к-рых средняя кривизна во всех точках равна нулю (см. Кривизна). М.
п. появляются при решении следующей вариац. задачи: в пространстве дана
нек-рая замкнутая кривая; среди всех возможных поверхностей, проходящих
через эту кривую, найти такую, для к-рой часть её, заключённая внутри кривой,
имела бы наименьшую площадь (минимальную площадь - отсюда назв.). Если
заданная кривая - плоская, тс-решением, очевидно, будет ограниченный этой
кривой кусок плоскости. В случае неплоской кривой необходимое условие,
к-рому должна удовлетворять поверхность с минимальной площадью, было-установлено
Ж. Лагранжем в 1760 и несколько позже истолковано геометрически
Ж. Мёнъе в форме, эквивалентной требованию, чтобы средняя кривизна
обращалась в нуль. Хотя это условие не является достаточным, т. е. не гарантирует
минимума площади, однако впоследствии назв. "М. п." было сохранено за всякой
поверхностью с нулевой средней кривизной. Если предположить поверхность
заданной ур-нием г = f(x,y)то, приравнивая нулю выражение
для
средней
кривизны, приходят к дифференциальному ур-нию с частными производными 2-го
порядка:

Исследованием этого ур-ния в различных
формах занимались мн. математики, начиная с Ж. Лагранжа и Г. Монжа.
Примерами
М. п. могут служить: обыкновенная винтовая поверхность; катеноид-единственная
(вещественная) М. п. среди поверхностей вращения; "поверхность Шерка",
определяемая ур-нием z =cos y/cos x

М. п. имеет во всех точках неположиг. полную
кривизну. Белы, физик Ж. Плато предложил способ экспериментального осуществления
М. п. при помощи мыльных плёнок, натянутых на проволочный каркас.

Лит.: Каган В. Ф., Основы теории
поверхностей в тензорном изложении, ч. 1, М.- Л., 1947; Курант Р., Р о
б-бинс Г., Что такое математика, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; Бляшке
В., Введение в дифференциальную геометрию,, пер. с нем., М., 1957.