МНОГОГРАННИК
в трёхмерном пространстве,
совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая
сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но
только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого
из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя
к смежному с ним, а от этого, в свою очередь,- к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники наз. гранями, их стороны - рёбра-м и, а их вершины -
вершина-м и М.
Приведённое определение М. получает различный
смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Если
под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся),
то приходят к первому определению М. (вопросы, связанные с определяемыми
таким образом М., будут рассмотрены в конце статьи). Осн. часть статьи
построена на основе второго определения М., при к-ром его грани являются
многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными.
С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных
кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная
поверхность нек-рого геометрич. тела, к-рое также наз. М.; отсюда возникает
третья точка зрения на М. как на геометрич. тела, причём допускается также
существование у этих тел "дырок", т. е. -что эти тела не односвязаны.
М. наз. выпуклым, если он весь лежит по
одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы.
Выпуклый М. разрезает пространство на две части - внешнюю и внутреннюю.
Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого
тела многогранная, то соответствующий М.- выпуклый.
Важнейшие теоремы общей теории выпуклых
М. (рассматриваемых как поверхности) следующие.
Теорема Эйлера (1758): число вершин минус
число рёбер плюс число граней выпуклого М. - эйлерова характеристика М.
- равно двум; символически: в - р + г = 2.
Теорема Кош и (1812) (в современной форме):
если два выпуклых М. изометричны друг другу (т. е. один М. может быть взаимно
однозначно отобра-
говорят, что он принадлежит этой голоэдрии
(или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой
никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую
через точку О, и подвергнуть её всем поворотам к.-н. кристаллографич. класса,
то полученные плоскости ограничивают либо нек-рый изоэдр с центром в точке,
либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол.
Полученные тела наз. простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми,
во втором и третьем - открытыми. Две простые формы считают одинаковыми,
если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же
кристаллографич. классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны
с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых,
каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы).
Основываясь на первом (указанном в начале
статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых
многогранни-к а (т. н. тела Пуансо), впервые найденных франц. математиком
Л. Пуансо в 1809 (рис. 6-9, см. на вклейке, табл. XXIV, стр. 321). Доказательство
несуществования других невыпуклых правильных М. дал франц.математик О.
Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани
- самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с
площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно
первым определением М.
Если у М. можно так ориентировать грани,
чтобы каждое ребро в тех двух гранях, к-рые смежны по этому ребру, имело
бы обратные направления, то его наз. ориентируемым, в противном случае
- неориентиру е-м ы м. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся
и его грани - самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади
поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. наз. просто сумму
площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника
см. Многоугольник). Для определения объёма надо заметить, что совокупность
внутр. кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных
кусков, из к-рых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные
конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести
отрезок в к.-л. внутреннюю точку внутр. куска, то сумму "коэффициентов?,
тех внутр. кусков граней М., к-рые пересечёт этот отрезок, наз. коэффициентом
рассматриваемого внутр. куска М. (она не зависит от выбора внешней точки
О); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или
нуль. Сумму обычных объёмов всех внутр. кусков М., умноженных на эти их
коэффициенты, наз. объёмом М.
Можно рассматривать и и-мерные М. Нек-рые
из указанных определений и теорем имеют я-мерное обобщение. В частности,
найдены все выпуклые правильные М.; при п = 4 их оказалось 6, а
при всех больших и всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то
же время, напр., неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.
Примеры нерешённых задач теории многогранников.
1) Нем. математик Э. Штейниц дал примеры
того, что не для всякого тополо-гич. типа сетки рёбер выпуклого М. существует
М., к-рый можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.
2) Параллелоэдры суть выпуклые основные
области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные
типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (фёдоровских)
дискретных групп движений.
3) Определение всех типов четырёхмерных
изоэдров.
Лит.: Фёдоров Е. С., Начала учения
о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.- Л.,
1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Bruckner M., Viel-ecke
und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; S t e i n i t z ?.,
Vorlesungen iiber die Theorie der Polyeder unter Einschluss der Elemente
der Topologie..., В., 1934; С о х е-ter H. S. M., Regular polytopes, 2
ed., L.- N. Y., 1963.
Б.Н.Делоне.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я