МНОГООБРАЗИЕ
вал сам является одномерным М., отрезок
же не является М. (так как концы его не имеют окрестностей указанного вида).
Примером двумерного М. может служить любая
область на плоскости (напр., внутренность круга х2 + y2
< г2), сама плоскость, параболоид, сфера, эллипсоид, тор
и т. п. Двумерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки имеется
окрестность, гомеоморфная внутренности круга. Это требование исключает,
напр., из числа двумерных М. конич. поверхность (её вершина, в к-рой сходятся
две её полости, не имеет требуемого вида окрестности). Однако выделяют
спец. класс объектов, к-рые не удовлетворяют этому требованию, - т. н.
многообразия с краем (напр., замкнутый круг х2 + y2
=< r2).
Примером трёхмерного М. может служить обычное
евклидово пространство, а также любое открытое множество в евклидовом
пространстве. Трёхмерные М. характеризуются тем, что у каждой их точки
имеется окрестность, гомеоморфная внутренности шара.
М. разделяются на замкнутые и открытые
(определение см. ниже). В случае одного измерения каждое замкнутое М. гомеоморфно
окружности, а каждое открытое - прямой (на рис. 1 изображены одномерные
М. и окрестности точки Р на каждом из них). В случае двух измерений уже
замкнутые М. довольно разнообразны. Они распадаются на бесконечное число
топологических типов: сфера - поверхность рода 0 (рис. 2, а), тор - поверхность
рода 1 (рис. 2, 6), "крендель" - поверхность рода 2 (рис. 2, в),
вообще "сфера с п ручками"-поверхность рода п (на рис. 2,
г
изображена
такая поверхность при п = 3). Этими примерами исчерпываются все
топологич. типы замкнутых двумерных ориентируемых М. (см. также Ориентируемая
поверхность). Существует ещё бесконечное число замкнутых двумерных
неориентируемых М. - односторонних поверхностей, напр, проективная плоскость,
т.
н. односторонний тор (Клейна поверхность). Имеется и классификация
открытых двумерных М. Полная классификация М. трёх измерений не найдена
(1974) (даже для случая замкнутых М.).
Рис. 1. Одномерные многообразия.
Рис. 2. Примеры замкнутых двумерных многообразий.
Многообразием п измерений (или n-мерным
многообразием) наз. всякое хаусдорфово топологическое пространство,
обладающее
след, свойством: каждая его точка имеет окрестность, гомеоморфную внутренности
re-мерного шара, и всё пространство может быть представлено в виде суммы
конечного или бесконечного (счётного) множества таких окрестностей. М.
наз. замкнутым, если оно компактно (см. Компактность), в противном
случае - открытым. Иногда к определению М. прибавляют ещё требование его
связности: каждые две точки М. могут быть в нём соединены непрерывной дугой.
Введение в математику понятия М. любого
(натурального) числа измерений п было вызвано весьма разнообразными
потребностями геометрии, математич. анализа, механики и физики. Важность
достаточной широты понимания М. как топологич. пространства основана на
том, что точками так определённых М. могут быть объекты любой природы,
напр, прямые, сферы, матрицы и т. д.
При надлежащем добавлении требований к
определению М. устанавливается понятие гладкого, или дифференцируемого,
многообразия. На гладком М. имеется возможность рассматривать дифференцируемые
функции и дифференцируемые отображения в себя или в др. гладкие М. Гладкие
М. имеют особенно большое значение в совр. математике, поскольку именно
они наиболее широко используются в приложениях и смежных областях (напр.,
конфигурационные
пространства и фазовые пространства в механике и физике). На
гладких М. можно ввести метрику, превратив его в риманово пространство.
Это
позволяет строить дифференциальную геометрию на М. Напр., введя нек-рым
образом метрику в конфигурационном пространстве меха-нич. системы, можно
истолковать траектории движения как геодезические линии в этом пространстве
(см. Наименьшего действия принцип). М., для элементов к-рого определено
(дифференцируемое) умножение, превращающее М. в группу, наз. группой Ли
(см. Непрерывная группа).
Понятие М. играет большую роль в теории
алгебраич. функций, непрерывных групп и т. Д. Во всех этих приложениях
существенны свойства М., не изменяющиеся при топологич. преобразованиях,-
т. н. топологические свойства. К ним относятся, напр., ориентируемость
или неориентируемость М. (см. Ориентация). Изучение этих свойств
является одной из важнейших задач топологии.
Лит.: А л е к с а н д р о в П. С.
и Ефремович В. А., Очерк основных понятий топологии, М.- Л., 1936; Александров
П. С., Комбинаторная топология, М.- Л., 1947; Л е н г С., Введение в теорию
дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967.
Н. В. Ефимов.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я