МНОГОУГОЛЬНИК

МНОГОУГОЛЬНИК замкнутая ломаная
линия. Подробнее, М.- линия, к-рая получается, если взять п любых
точек At, А?, ..., An и соединить прямолинейным отрезком каждую
из них с последующей, а последнюю - с первой (см. рис. 1, а). Точки At,
Аназ. вершинами М., а отрезки AiAАего сторонами. Далее рассматриваются
только плоские М. (т. е. предполагается, что М. лежит в одной плоскости).
М. может сам себя пересекать (см. рис. 1, в), причём точки самопересечения
могут не быть его вершинами.

Существуют и другие точки зрения на то,
что считать М. Многоугольником можно наз. связную часть плоскости, вся
граница к-рой состоит из конечного числа прямолинейных отрезков, наз. сторонами
многоугольника. М. в этом смысле может быть и многосвязной частью плоскости
(см. рис. 1, г), т. е. такой М. может иметь "многоугольные дыры". Рассматриваются
также бесконечные М.- части плоскости, ограниченные конечным числом прямолинейных
отрезков и конечным числом полупрямых.

Рис. 1.

Дальнейшее изложение опирается на данное
выше первое определение М.

Если М. не пересекает сам себя (см., напр.,
рис. 1, а и б), то он разделяет совокупность всех точек плоскости, на

нем не лежащих, на две части - конечную
(внутреннюю) и бесконечную (внешнюю) в том смысле, что если до точки принадлежат
одной из этих частей, то их можно соединить друг с другом ломаной, не пересекающей
М., а если разным частям, то нельзя. Несмотря на совершенную очевидность
этого обстоятельства, строгий его вывод из аксиом геометрии довольно труден
(т. н. теорема Жордана для М.). Внутрення по отношению к М. часть плоскости
имеет определённую площадь. Если М.- самопересекающийся, то он разрезает
плоскость на определённое число кусков из к-рых один бесконечный (наз.
внешним по отношению к М.), а остальные конечные односвязные (наз. внутренними
причём граница каждого из них есть нек-рый самонепересекающийся М., стороны
к-рого есть целые стороны или части сторон, а вершины - вершины или точки
самопересечения данного М. Если каждои стороне М. приписать направление,
т. е. указать, какую из двух определяющих её вершин мы будем считать её
началом, а какую - концом, и притом так, чтобы начало каждой стороны было
концом предыдущей, то получится замкнутый многоугольный путь, или ориентированный
М. Площадь области, ограниченной самопересекающимся ориентированным М.,
считается положительной, если контур М. обходит эту область против часовой
стрелки, т. е. внутренность М. остаётся слева от идущего по этому пути,
и отрицательной -в противоположном случае. Пусть М.-самопересекающийся
и ориентированный; если из точки, лежащей во внешней по отношению к нему
части плоскости провести прямолинейный отрезок к точке, лежащей внутри
одного из внутренних его кусков, и М. пересекает этот отрезок р раз
слева направо и q раз справа налево, то число р - q (целое
положительное, отрицательное или нуль) не зависит от выбора внешней точки
и наз. коэффициентом этого куска. Сумма обычных площадей этих кусков, помноженных
на их коэффициенты, считается "площадью" рассматриваемого замкнутого пути
(ориентированного М.). Определяемая "площадь замкнутого пути играет большую
роль в теории математич. приборов (планиметр и др.); оно получается там
обычно в виде интеграла (в полярных координатах р, со) или §ydx (в
декартовых координатах х, у), где конец радиус-вектора р или ординаты
у
один
раз обегает этот путь.

Сумма внутр. углов любого самонепересекающегося
М. с и сторонами равна (п - 2)180°. М. наз. выпуклым (см. рис. 1,
в), если никакая сторона М., будучи неограниченно продолженной, не разрезает
М. на две части. Выпуклый М. можно охарактеризовать также следующим свойством:
прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки плоскости, лежащие внутри
М., не пересекает М. Всякий выпуклый

М.- самонёпересекающийся, но не наоборот.
Напр., на рис. 1, б изображён самонепересекающийся М., к-рый не
является выпуклым, т. к. отрезок PQ, соединяющий нек-рые его внутр.
точки, пересекает М.

Важнейшие М.: треугольники, в частности
прямоугольные, равнобедренные, равносторонние (правильные); четырёхугольники,
в частности трапеции, параллелограммы, ромбы, прямоугольники, квадраты.
Выпуклый М. паз. правильным, если все его стороны равны и все внутр. углы
равны. В древности умели по стороне или радиусу описанного круга строить
при помощи циркуля и линейки правильные М. только в том случае, если число
сторон М. равно т= 3-2n, 4-2n,5-2n, 3-5-2n, где и-любое положительное
число или нуль. Нем. математик К. Гаусс в 1801 показал, что можно построить
при помощи циркуля и линейки правильный М., когда число его сторон имеет
вид: т = 2n-pi-p...-pit, где pi, p-2, ...
РК -различные простые числа вида р - 2²' + 1 (s
- целое положительное число). До сих пор известны только пять таких
р
: 3, 5, 17, 257, 65537. Из теории Галуа (см. Галуа теория)
следует,
что никаких др. правильных М., кроме указанных Гауссом, построить при помощи
циркуля и линейки нельзя. Т. о., построение возможно при т = 3,
4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... и невозможно при т
= 7,9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
33, ...

Рис. 2.

В приведённой ниже таблице указаны радиус
описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь правильного
и-угольника (для п = 3, 4, 5, 6, 8, 10), сторона к-рого равна k.

Начиная с пятиугольника существуют также
невыпуклые (самопересекающиеся, или звездчатые) правильные М., т. е. такие,
у к-рых все стороны равны и каждая следующая из сторон повёрнута в одном
и том же направлении и на один и тот же угол по отношению к предыдущей
. Все вершины такого М. также лежат на одной окружности. Такова, напр.,
пятиконечная звезда. На рис. 2 даны все правильные (как выпуклые, так и
невыпуклые) М. от треугольника до семиугольника.

Лит. см. при ст. Многогранник.