МНОГОЧЛЕН

МНОГОЧЛЕН полином, выражение вида

где x, y, ..., w — переменные, а
А, В, ..., D (коэффициенты М.) и k, l, ..., t (показатели степеней
— целые неотрицательные числа) — постоянные. Отд. слагаемые вида Ax^ky¹...
w^m наз. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей
в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или
опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отд. члене — степени
с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена,
его наз. одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена М. наз. подобными,
если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны.
Подобные между собой члены

можно заменить одним (приведение подобных
членов). Два М. наз. равными, если после приведения подобных все члены
с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но,
может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты
этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. наз. тождественным
нулём и обозначают знаком 0. М. от одного переменного х можно всегда
записать в виде

где аan
— коэффициенты.

Сумму показателей степеней к.-л. члена
М. наз. степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов
с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены
приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую
степень наз. степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой
степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю).
Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2х +
у — z + 1 есть многочлен первой степени (л и н е й н ы й М.), 5x²
— 2x² — 3x² не имеет степени, т. к. это тождественный
нуль. М., все члены к-рого одинаковой степени, наз. однородным М., или
формой;
формы первой, второй и третьей степеней наз. линейными, квадратичными,
кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными
(тернарными) (напр., х² + + y² + z²
- ху - yz - xz есть трои-ничная квадратичная форма).

Относительно коэффициентов М. предполагается,
что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое),
напр, полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя
над М. действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного,
сочетательного и распределительного законов, получают снова М. Таким образом,
совокупность всех М. с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см.
Кольцо
алгебраическое)
- кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля,
т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0.

Если для двух многочленов Р(х) и
Q(x)
можно
найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р
делится
на О; О наз. делителем, a R - частным. Если
Р не делится
на О, то можно найти такие многочлены Р(х)
и
S(x), что Р
= QR + S, причём степень S(x) меньше степени
Q(x).

Посредством повторного применения этой
операции можно находить наибольший общий делитель Р и О, т. е. такой делитель
Р
и
Q, к-рый делится на любой общий делитель этих многочленов (см.
Евклида
алгоритм). М., к-рый можно представить в виде произведения М. низших
степеней с коэффициентами из данного поля, наз. приводимым (в данном поле),
в противном случае -неприводимым. Неприводимые М. играют в кольце М. роль,
сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, напр., верна теорема:
если произведение PQ делится на неприводимый многочлен
R, а Р
на
R
не делится, то тогда О должно делиться на R. Каждый М. степени,
большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей
единств, образом (с точностью до множителей нулевой степени). Напр., многочлен
х^л + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается
на два множителя

лексных чисел. Вообще каждый М. от одного
переменного х разлагается в поле действительных чисел на множители
первой и второй степени, в поле комплексных чисел - на множители первой
степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных
этого уже нельзя утверждать; напр., многочлен х³ + уz²
+ + z³ неприводим в любом числовом поле.

Если переменным х, у, ..., w придать
определённые числовые значения (напр., действительные или комплексные),
то М. также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что
каждый М. можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта
функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её
можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся
из переменных и нек-рых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных
в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые
рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций,
где
к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию
можно представить в виде частного двух М. Наконец, рациональные функции
содержатся в классе алгебраических функции.

К числу важнейших свойств М. относится
то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить
М. (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная
функция была непрерывна на к.-л. ограниченном, замкнутом множестве точек,
напр, на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами матема-тич.
анализа, даёт возможность приближённо выражать М, любую связь между величинами,
изучаемую в к.-л. вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения
исследуются в спец. разделах математики (см. Приближение и интерполирование
функций, Наименьших квадратов метод).

В элементарной алгебре многочленом иногда
наз. такие алгебраич. выражения, в к-рых последним действием является сложение
или вычитание, напр.

Лит.; К у р о ш А. Г., Курс высшей
алгебры, 9 изд., М., 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра,
2 изд., М., 1965.

А. И. Маркушевич.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я