Мощность множеств.

Мощность множеств. Первым вопросом,
возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности
их количественного сравнения между собой. Ответ на этот и близкие вопросы
дал в кон. 70-х гг. 19 в. Г. Кантор, основавший М. т. как математич.
науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается
на понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть
каждому элементу множества А поставлен в соответствие в силу какого
бы то ни было правила или закона некоторый определённый элемент множества
В; если при этом каждый элемент множества оказывается поставленным в соответствие
одному и только одному элементу множества Л, то говорят, что между множествами
А
и
В
установлено взаимно однозначное, или одно-однозначное, соответствие
[сокращённо: (1 - 1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами
можно установить (1 - 1 )-соответствие тогда и только тогда, когда оба
множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого
факта определяют количественную эквивалентность, или р а в н о м о щ-ность,
двух бесконечных множеств как возможность установить между ними (1 - 1
)-соответствие.

Ещё до создания М. т. Б. Болъцано владел,
с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (1-1)-соот-ветствия,
а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных
ступеней; однако он не только не сделал (1-1 соответствие основой установления
количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого.
Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в
(1--соответствии со своей правильной частью. Напр., если каждому натуральному
числу п поставить в соответствие натуральное число 2п, то
получим (1 - 1 соответствие между множеством всех натуральных и множеством
всех чётных чисел. Вместо того чтобы в применении к бесконечным множествам
отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной
однозначности как критерия равномощности и, т. о., остался вне осн. линии
развития М. т. В каждом бесконечном множестве М имеется (как легко
доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни
в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому
наличие правильной части, равномощ-ной целому, можно принять за определение
бесконечного множества (Р. Дедекинд).

Для двух бесконечных множеств А и
В
возможны
лишь следующие три случая: либо Л есть правильная часть, равномощная
В,
но
в В нет правильной части, равномощной Л; либо, наоборот, в
В
есть
правильная часть, равномощная Л, а в Л нет правильной части, равномощной
В; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В, и в
В есть правильная часть, равномощная Л. Доказывается, что в третьем случае
множества Л и В равномощны (теорема Кантора -Бернштейна). В первом случае
говорят, что мощность множества Л больше мощности множества В, во втором
- что мощность множества В больше мощности множества Л. A priori возможный
четвёртый случай - в Л нет правильной части, равномощной
В, а в В нет
правильной части, равномощной Л,- в действительности не может осуществиться
(для бесконечных множеств).

Ценность понятия мощности множества определяется
существованием неравно-мощных бесконечных множеств. Напр., множество всех
подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем множеством.
Множество, равномощ-ное множеству всех натуральных чисел, наэ. счётным
множеством. Мощность счётных множеств есть наименьшая мощность, к-рую может
иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счётную
правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже
всех алгебраич. чисел счётно, тогда как множество всех действит. чисел
несчётно. Тем самым было дано новое доказательство существования т. н.
трансцендентных чисел, т. е. действит. чисел, не являющихся корнями никакого
алгебраич. уравнения с Целыми коэффициентами (и даже несчётность множества
таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел наз. мощностью
континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех
подмножеств счётного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно,
множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трёх- и вообще
и-мерного пространства при любом п. Кантор высказал гипотезу (т.н.
континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действит. чисел, либо
конечно, либо счётно, либо равномощно множеству всех действит. чисел; по
поводу этой гипотезы и существенных связанных с нею результатов см. Континуума
проблема.



Отображения множеств. В М. т. ана-литич.
понятие функции, геометрич. понятие отображения или преобразования фигуры
и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое.
Пусть даны два множества X

или значением данной функции для данного
значения её аргумента х.

Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной
на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0;
1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, напр, на ось
абсцисс; эта проекция есть отображение множества X всех точек квадрата
на множество У всех точек его основания; точке с координатами (х; у)
соответствует
точка (х; 0).

2) Пусть X - множество всех действит.
чисел; если для каждого действит. числа

(1 - 1 )-соответствие между двумя множествами
X и У есть такое отображение множества X в множество Y, при к-ром
каждый элемент множества У является образом одного и только одного элемента

множества X. Отображения примеров
2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) - нет. Операции над множествами.
С у м м о и, или объединением, двух, трёх, вообще произвольного конечного
или бесконечного множества множеств наз. множество всех тех предметов,
каждый из к-рых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых.
Пересечением двух, трёх, вообще любого конечного или бесконечного множества
множеств наз. множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение
даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством
В
и
множеством А наз. множество всех элементов из В, не являющихся
элементами из А: разность между множеством В и его частью
А
наз. дополнением множества А в множестве В.

Операции сложения и пересечения множеств
удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность,
Коммутативность). Операция пересечения, кроме того, распределительна
по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством,
что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного
и того же множества М, то и результат будет подмножеством множества
М.
Указанным
свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением
множеств X и У наз. множество X XV всевозможных пял

ных множеств согласуется с умножением и
возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма
мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными
мощностями.



Упорядоченныемножества. Установитьв
данном множестве X порядок - значит установить для нек-рых пар х', х"
элементов
этого множества какое-то правило предшествования (следования¹),
выражае-

рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным
в нём порядком, наз. "частично упорядоченным множеством"; иногда вместо
"частично упорядоченное множество" говорят "упорядоченное множество" (Н.
Бурбаки).
Однако
чаще упорядоченным множеством наз. такое частично упорядоченное множество,
в к-ром порядок удовлетворяет след, дополнительным требованиям ("линейного
порядка"): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких
двух раз-

3) Всякое множество действит. чисел линейно
упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.

Два упорядоченных множества наз. подобными
между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними
можно установить (1 - 1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного
множества наз. первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве
всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент.
Примеры: в упорядоченном множестве всех действит. чисел нет ни первого,
ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных
чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном
множестве всех действительных чисел .г, удовлетворяющих неравенствам a
<= x <= b, число а есть первый элемент,
а число b - последний.

Упорядоченное множество называется вполне
упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют
первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств наз. порядковыми,
или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно,
то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики.
Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств наз. трансфинитными
числами.



Точечные множества. Теория точечных
множеств, т. е. в первоначальном понимании слова - теория множеств, элементами
к-рых являются действит. числа (точки числовой прямой), а также точки двух-,
трёх- и вообще га-мерного пространства, основана Г. Кантором, установившим
понятие предельной точки множества и примыкающие к нему понятия
замкнутого
множества и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств привело
к понятиям метрического пространства и топологического пространства,
изучением
к-рых занимается общая топология. Наиболее самостоятельное существование
ведёт дескриптивная теория множеств. Основанная франц. математиками Р.
Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905),
дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации т. н. борелевских
множеств (В-множеств). Борелев-ские множества определяются как множества,
могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением
операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному
или к счётному множеству множеств. А. Лебег показал, что те же множества
- и только они - могут быть получены как множества точек, в к-рых входящая
в Бэра классийикаиию действительная (Функ-

преимущественно рус. и польск. математиками,
особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров,
М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров
доказал теорему (1916) о том, что всякое несчётное борелевское множество
имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применён Суслиным
для построения теории А -множеств, охватывающих как частный случай
борелевские (или В-) множества (считавшиеся до того единств, множествами,принципиально
могущими встретиться в анализе). Суслия показал, что множество, дополнительное
к Л-множеству М, является само Л-мно-жеством только в том случае,
когда множество М - борелевское (дополнение к борелевскому множеству
есть всегда борелевское множество). При этом Л-множества оказались совпадающими
с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория Л-множеств
в течение неск. лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как
Лузин пришёл к общему определению проективных множеств, которые могут быть
получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи
повторного применения операции вычитания и непрерывного отображения. К
теории Л-множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова
и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям
математики (с вопросами эффективной определимости математич. объектов и
разрешимости математич. проблем).



Значение М. т. Влияние М. т. на
развитие совр. математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом
ряда новых математич. дисциплин (теории функций действительного переменного,
общей топологии, общей алгебры, функционального анализа и др.).

Постепенно теоретико-множественные методы
находят всё большее применение и в классич. частях математики. Напр., в
области математич. анализа они широко применяются в качественной теории
дифференциальных уравнений, вариационном исчислении, теории вероятностей
и др.

Наконец, М. т. оказала глубокое влияние
на понимание самого предмета математики или таких её больших отделов,
как геометрия. Только М. т. позволила отчётливо сформулировать понятие
изоморфизма
систем
объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию
того обстоятельства, что каждая математич. теория в её чистой абстрактной
форме изучает ту или иную систему объектов лишь "с точностью до изоморфизма",
т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов,
изоморфную той, для изучения к-рой теория была первоначально создана.

Что касается М. т. в вопросах обоснования
математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения
математич. теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в
обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логич.
трудности, связанные с обоснованием математич. учения о бесконечности (см.
Бесконечность
в
математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь
большую остроту (см. Аксиоматическая теория множеств, Логика, Конструктивная
математика, Континуум).

Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций
действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С., Введение
в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств,
пер. с нем., М.- Л., 1937.

П. С. Александров.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я