МУАВРА ФОРМУЛА

МУАВРА ФОРМУЛА формула, содержащая
правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного
в тригонометрич. форме

z = p (cos
+ i sin); согласно M. ф., модуль
комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент
умножается на показатель степени zⁿ = [р (cos
+ i sin)]ⁿ =ⁿ
(cos n + i sin n).
M.
ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена
Л. Эйлером в 1748.

M. ф. может быть легко использована
для выражения cos n и sin n
через степени cos и sin;
положив в М. ф. = 1 и приравнивая
отдельно действительные и мнимые части, получим

cos n=
cosⁿ - С²cos^n-2 sin²
+ C⁴n-4
sin⁴ - .. ., sin n
= C¹cos^n-l
sin - C³cos^n-3 sin³+
. . . ,

где С mn =
п!/т!(п
- т)! - биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином).
Обращение
M. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.