"НАЧАЛА" ЕВКЛИДА
(греч. Stoicheia,
букв.- азбука; переносное значение - основные начала), научное произведение,
написанное Евклидом в 3 в. до н. э., содержащее основы античной
математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории
отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы
теории пределов. Евклид подвёл в этом сочинении итог трёхсотлетнему развитию
греч. математики и создал прочный фундамент для дальнейших математич. исследований.
"Н." E. не являются, однако, энциклопедией матем. знаний своей эпохи. Так,
в "Н." E. не излагается теория конич. сечений, к-рая была тогда достаточно
развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.
"Н." E. построены по дедуктивной системе:
сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки
теорем и их доказательства (см. Дедукция). Вслед за определением
основных геометрич. понятий и объектов (напр., точки, прямой) Евклид доказывает
существование остальных объектов геометрии (напр., равностороннего треугольника)
путём их построения, к-рое выполняется на основании пяти постулатов. В
постулатах утверждается возможность выполнения нек-рых элементарных построений,
напр, "что от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию"
(I постулат); "И что от всякого центра и всяким раствором (может быть)
описан круг" (III постулат). Особое место среди постулатов занимает V постулат
(аксиома о параллельных): "И если прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные
эти прямые неограниченно встретятся с той стороной, где углы меньше двух
прямых". Относительная сложность формулировки привела к стремлению многих
математиков (на протяжении почти 2 тыс. лет) вывести его как теорему из
др. основных положений геометрии. Попытки доказать V постулат продолжались
вплоть до работ H. И. Лобачевского, построившего первую систему
неевклидовой геометрии, в к-рой этот постулат не выпочняется (см. Лобачевского
геометрия). За постулатами в "Н." E. приводятся аксиомы - предложения
о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами. Напр.:
"Равные одному и тому же равны и между собой" (1-я аксиома); "И целое больше
части" (8-я аксиома).
С совр. точки зрения система аксиом
и постулатов "Н." E. недостаточна для дедуктивного построения геометрии.
Так, здесь нет ни аксиом движения, ни аксиом конгруэнтности (за исключением
одной). Отсутствуют также аксиомы расположения и непрерывности. Фактически
же Евклид использует при доказательствах и движение и непрерывность. Логические
недостатки построения "Н." E. полностью выяснились лишь в кон. 19 в. после
работ Д.
Гильберта
(см. Евклидова геометрия). До этого на
протяжении более 2 тыс. лет "Н." E. служили образцом научной строгости;
по этой книге в полном либо в сокращённом и переработанном виде изучали
геометрию.
"Н." E. состоят из тринадцати книг
(отделов, или частей). В книге I рассматриваются осн. свойства треугольников,
прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей.
Заканчивается книга
Пифагора теоремой. В книге II излагается т.
н. геометрич. алгебра, т. е. строится геометрич. аппарат для решения задач,
сводящихся к квадратным уравнениям (алгебраич. символика в "Н." E. отсутствует).
В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд (эти
проблемы были исследованы Гиппократом Хиосским во 2-й пол. 5 в.
до н. э.), в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая
теория отношений величин, созданная Евдоксом Книдским', её можно
рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной только
во 2-й пол. 19 в. Общая теория отношений является основой учения о подобии
(книга VI) и метода исчерпывания (книга VII), также восходящих к Евдоксу.
В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения
наибольшего общего делителя (Евклида алгоритме). В эти книги входит
теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа
на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь излагается
также учение об отношении целых чисел, эквивалентное, по существу, теории
рациональных (положительных) чисел. В книге X даётся классификация квадратичных
и биквадратич-ных иррациональностей и обосновываются нек-рые правила их
преобразования. Результаты книги X применяются в книге XIII для нахождения
длин рёбер правильных многогранников. Значит, часть книг X и XIII (вероятно
и VII) принадлежит Теэтету (нач. 4 в. до н. э.). В книге XI излагаются
основы стереометрии. В книге XII определяются с помощью метода исчерпывания
отношение площадей двух кругов и отношение объёмов пирамиды и призмы, конуса
и цилиндра. Эти теоремы впервые доказаны Евдоксом. Наконец, в книге XIII
определяется отношение объёмов двух шаров, строятся пять правильных многогранников
и доказывается, что иных правильных тел не существует. Последующими греческими
математиками к "Н." E. были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие
Евклиду. Они нередко и теперь издаются совместно с основным текстом "Н."
E.
"Н. " E. получили широкую известность
уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались
на них при своих исследованиях в области математики и механики. До нашего
времени античный текст "Н." E. не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий
относится ко 2-й пол. 9 в.). В кон. 8 в. - нач. 9 в. появляются переводы
"Н." E. на араб. язык. Первый перевод на лат. язык был сделан с арабского
Ателхардом Бат-ским в 1-й четв. 12 в. Старинные списки отличаются существенными
разночтениями; подлинный текст "Н." E. точно не восстановлен. Первое печатное
издание "Н." E. в переводе Дж. Кампано на лат. язык появилось в Венеции
в 1482 с чертежами на полях книги (перевод был выполнен ок. 1250-1260;
Кампано использовал как араб, источники, так и перевод Ателхарда Батского).
Наилучшим в настоящее время считается издание И. Гей-берга ("Euclidis Elementa",
v. 1-5, Lipsiae, 1883-88), в к-ром приводится как греч. текст, так и его
лат. перевод. На рус. яз. "Н." E. издавались многократно начиная с 18 в.
Лучшее издание - "Начала Евклида", пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского,
т. 1-3, 1948-50.
Лит.: История математики с древнейших
времён до начала нового времени, т. 1, M., 1970. И. Г.Башмакова, А.
И. Маркушевич.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я