НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел
геометрии, в к-ром пространственные фигуры изучаются при помощи построения
их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений,
а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

Потребность в изображениях пространств,
предметов на плоскости возникла в связи с решением различных практических
вопросов (напр., строительство зданий и других инженерных сооружений, развитие
живописи и архитектуры, техники и т. п.). Особенно большое значение имеют
чертежи, получаемые проектированием (проецированием) данной фигуры на плоскость
(проекционные чертеж и). Практика предъявляла к таким чертежам ряд требований;
важнейшие из них: 1) наглядность изображения, т. е. свойство чертежа вызывать
пространств, представление изображаемой фигуры; 2) "обратимость" чертежа,
т. е. возможность точного определения изображённой фигуры по чертежу; 3)
простота выполнения требуемых построений; 4) точность графич. решений.
В способах построения изображений применяются центральное и параллельное
проектирование фигуры (натуры, объекта, оригинала) на плоскость проекций
(см. Проекция). Наибольшей наглядностью обладают чертежи, полученные
способом центрального проектирования, к-рый соответствует геометрич. схеме
возникновения изображений на сетчатке человеческого глаза. Однако наиболее
употребительными в H. г. являются параллельные проекции, к-рые более просты
в построении изображений и более удобны для определения по ним натуральной
фигуры. Существуют различные виды параллельных проекций; самым распространённым
является способ ортогональной проекции на две или три плоскости (комплексный
черте ж). Сущность этого способа заключается в следующем. Выбирают две
взаимно перпендикулярные плоскости проекций П и Пв
пространстве. Плоскость П располагают горизонтально;
её называют горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость П- фронтальной плоскостью проекций. Произвольную точку А пространства
проектируют ортогонально на эти плоскости (рис. 1); получают горизонтальную
проекцию Aплоскости П)
и фронтальную проекцию A(ААперпенд.
плоскости ПA, Aи Aлежат
в одной (проектирующей) плоскости, перпендикулярной к линии
рпересечения
плоскостей проекций. Горизонтальную проекцию к.-л. фигуры получают, проектируя
ортогонально все точки этой фигуры на плоскость Пфронтальную
проекцию - на плоскость ПЧасто бывает полезно добавить
третью проекцию фигуры - на плоскость
Пперпендикулярную
к плоскостям Пи
ППа
также и проекцию на неё называют профильной. Две проекции точки А
(напр.,
A1
и
А2) вполне определяют третью проекцию (A

Чтобы получить чертёж, состоящий из
трёх указанных проекций (комплексный чертёж), плоскости Пи
Псовмещают с плоскостью П("главной" плоскостью) путём
вращения их вокруг линийпересечения этих плоскостей с плоскостью ПОбычно на практике не указывается положение осей проекцийИплоскостей проекций определяется с точностью до параллельного переноса.

Комплексный чертёж обратим, т. к. по
нему можно определить расстояние между любыми двумя точками натуральной
фигуры. Действительно, отрезок AB (рис. 3) в натуре является гипотенузой
прямоугольного треугольника ABB*, в к-ром AB* = A1B1, а В*В
есть
разность высот точек В и А, выражаемая на чертеже отрезком
ВОтсюда
можно получить простое построение натурального отрезка AB = A1B(pиc.
4); для этого нужно построить
B1B|A1B1
и B1B =
В

Для увеличения наглядности комплексного
чертежа на проекциях фигуры устанавливают "условия видимости": из двух
точек А и В, проекции к-рых на к.-л. из плоскостей проекций совпадают,
напр. A1 = B1, видимой считается та, к-рая расположена ближе к зрителю;
"невидимые" линии фигуры условно изображаются штриховыми линиями. Пример
такого изображения пространственной фигуры в трёх проекциях, паз. "вид
спереди" (фронтальная проекция), "вид сверху" (горизонтальная проекция)
и "вид слева" (профильная проекция), дан на рис. 5. Комплексный чертёж
(из двух или трёх ортогональных проекций) является наиболее распространённым
видом технич. чертежа. По нему легко определяются все необходимые размеры
изображаемого предмета. Недостаток таких чертежей - их малая наглядность.

Для построения более наглядных обратимых
изображений в H. г. применяется другой способ, называемый аксонометрией.

При аксонометрии изображаемую фигуру
относят к системе Oxyz осей координат в пространстве (см. Аналитическая
геометрия). Эту систему координат называют натуральной. На рис.6 построена
координатная ломаная OMдля произвольной
точки M. Длины координатных отрезков OMMявляются координатами х, у, z точки M. Если
спроектировать натуральную систему осей Oxyz на плоскость П',
то получается т. н. аксонометрическая система осей O'x'y'z' (рис.
6). Проекция О'М'координатной ломаной
состоит из отрезков О'М'х, M'xM'1, М'1М', длины к-рых х', у',
z' в аксонометрич. системе координат наз. аксонометрическими координатами
точки M. Отношения

выражают величины искажения координатных
отрезков при проектировании; их называют показателями (коэффициентами)
искажения. Если все три показателя искажения равны, то аксонометрию наз.
и з о м е т р и е и, если хотя бы два из них равны - д и-м е т р и е и,
если же все показатели искажения неравны - т р и м е т р и е и.

Чтобы при помощи аксонометрич. способа
построить изображение точки M на плоскости Я' в данной параллельной
проекции, необходимо иметь: а) натуральные координаты этой точки M(x,u,z);
6) аксонометрич. систему осей O'x'y'z' на плоскости проекций
П';
в) показатели искажения и, v, w.

Тогда по формулам (*) находят аксонометрич.
координаты точки М'(х', у', z') и строят по ним точку M', являющуюся
искомой проекцией точки M. Аксонометрич. изображение пространств,
фигуры строят по точкам, определяющим последнюю. Аксонометрич. чертёж обратим:
если на аксонометрич. чертеже дана точка М'(х',у',z'), то можно
по формулам (*) найти натуральные координаты х, у, z точки M.

Если задать произвольную аксонометрич.
систему осей O'x'y'z' на плоскости проекций П' (не сводящуюся,
однако, к одной прямой ) и отношение показателей искажения и:
: w, то, согласно основной теореме аксонометрии (Польке теореме),
существует
такое положение натуральной системы осей координат относительно плоскости
проекций П' и такое направление проектирования, при к-рых на плоскости
П'
реализуются ранее выбранная аксонометрич. система осей и отношений показателей
искажения.

Для упрощения аксонометрич. способа
построения изображений пользуются "приведённой" аксонометрией, в к-рой
аксонометрич. координаты стремятся по возможности заменить натуральными
без искажения вида чертежа. Так, напр., на рис. 7 дана ортогональная изометрия
объекта, изображённого на комплексном чертеже (рис. 5), с использованием
натуральных координат вместо аксонометрических. При этом происходит изменение
масштаба аксонометрич. чертежа, но вид его сохраняется, т. е. чертёж изменяется
подобно. Аксонометрич. изображения предметов, не имеющих большого протяжения,
обладают достаточной наглядностью. Этого нельзя сказать об изображениях
крупных объектов, таких, как здания, плотины и др. сооружения. В этих случаях
предпочтительнее применять изображения, выполненные в центральной проекции
(перспективе).

Чтобы перспективный чертёж был обратимым,
на плоскости проекций П' строят центральную проекцию А' (перспективу)
изображаемой точки А и перспективу Ai' ортогональной проекции
A1 точки на горизонтальную плоскость Пi, наз. предметной (рис. 8).
Плоскость проекций П' (картинную плоскость) выбирают преим. перпендикулярной
к предметной. Точка A1 наз. основанием точки А. В частности,
S1 есть основание центра проекций ("глаза") S. Зная положение центра S
относительно картинной плоскости П', можно по данным перспективе
А'
точки
А
и
перспективе А'1 её основания найти положение натуральной точки
А
в пространстве. Для этого нужно провести SA1' и найти A1. Затем построить
A1A перпенд. плоскости П1 и найти точку А пересечения прямых SA'
и A1A. Большое значение при построении перспективных изображений имеют
т. н. точки схода, являющиеся перспективными изображениями бесконечно удалённых
точек пространства, илиниягоризонта - перспективное изображение бесконечно
удалённой прямой предметной плоскости П.

На рис. 9 показано перспективное изображение
комнаты. На нём видна главная точка у, к-рая является точкой схода
для всех прямых, перпендикулярных (в натуре) картинной плоскости, и линия
горизонта h. Точки схода др. параллельных прямых, лежащих в предметной
плоскости, располагаются на линии горизонта h (напр., D'oo).

Используя координатный метод, можно
выполнить построение перспективного изображения по способу центральной
аксонометрии, аналогично описанной выше параллельной аксонометрии.

Наряду с построениями перспективных
изображений на плоскости (линейная перспектива) на практике употребляются
и др. виды центрально-проекционных изображений.

При построении чертежей изображающих
к л часть земной поверхности удобно пользоваться т н проекциями с числовыми
отметками В этом случае на чертеже допжно быть задано достаточное чисто
точек поверхности (рис 10). Проектируя ортогонально точки поверхности на
плоскость проекций записывают около проекции каждой точки ее высотную отметку
т е чисто выражающее высоту точки над плоскостью проекций в избранных единицах
длины. Благодаря этому такой чертеж является обратимым .Для увеличения
его наглядности и удобства пользования проекции точек имеющих единаковую
высоту, соединяют линией к рую называют линией уровня Если изображена земная
поверхность то плоскость проекций считается горизонтальной линии уровня
называют в этом случае горизонталями .По форме и расположению горизонталей
можно (с известной степенью точности) судить о рельефе изображенного участка
земной поверхности построить ее сечение заданной на чертеже плоскостью
(рис 10), а также решать другие задачи. Такой способ изображения поверхности
и саму поверхность заданную системой горизонталей, называют топографическими.

Историческая справка. Первые попытки
проекционных изображений можно встретить у древних народов еще до нашей
эры Так римский архитектор Витрувии в своем соч "Десять книг об архитектуре"
(1 в до н э ) дает понятие о плане (горизонтальной проекции) и фасаде (фронтальной
проекции) сооружения .Итал.архитектор. и ученый Л Альберти (15 в н э )
уже применяет "точки схода" и дает важный для практики способ построения
перспективы при помощи сетки. В "Трактате о живописи" (опубл 1651) Леонардо
да Винчи имеются многочисл указания о практич применениях перспективных
изображений, в частности о "наблюдательной " перспективе. Нем хутожник
А Дюрер в труде "Руководство к измерению " (1525) предложил способ построения
перспективы по горизонтальной и фрон тальной проекциям объекта .Особенно
полное изложение приемов построения перспективы были даны итал ученым Г
Убальди (1600). Науч. основы. H. г .были разработаны Ж Дезаргом и
гл. обр. Г. Монжем к рый считается создателем научной H. г.

В Др. Руси при возведении сооружений
применялись изображения в к рых можно заметить элементы геометрич проекта
рования. Так изображение города Пскова (1581) было выполнено с соблюдением
нек-рых
законов перспективы. Чертежи изобретателя самоучки И П Kyлибина
зодчего
Д В Ухтомского и др являются геометрически правильными проекционными
изображениями Курс H г был впервые введен в 1810 в Петерб ин-те корпуса
инженеров путей сообщения .Первым рус профессором H г был Я А Севастьянов
написавший ряд сочинений по различным вопросам H г Науч развитию H г много
содействовали геометрич работы E С Федорова к рый предлокил метод
изображения точек пространства на плоскости при помощи векторов . Метод
E . С. Федорова был успешно применен в многомерной H г к рая используется
в физико хим анализе (шкота H С Курнакова). Сов. геометры (А К Власов H
А Глаголев H Ф Четверухин и др ) выполнили ряд исследований в области основной
теоремы аксонометрии.

Лит: P ы н и н H. А , Материалы
к исто рпи начертательной геометрии [Библпография, биографии, эпизоды,
факты,
хронология], Л , 1938 M о н ж Г , Начертательная геометрия, пер с [франц
], M , 1947 Ф ед о р о в E .С , Новая начертательная геометрия, "Изв АН",
1917, № 10 Глаголев H .А , Начертательная геометрия, 3 изд , M , 1953 Вольберг
О.А., Лекции по начертательной геометрии, M - Л , 1947, Курс начертательной
геометрии, под ред H Ф Четверухина, M , 1956 Вопросы совре менной начертательной
геометрии Сб CT под ред H Ф Четверухина, M - Л , 1947, Глазунов E. А. и
Четверу х и н H .Ф. , Аксонометрия, M , 1953. Методы начертательной геометрии
и ее при ложения Сб с г , под ред H Ф Четверу хина, M , 1955 Добряков А
И, Курс начертательной геометрии, 3 изд , M - Л , 1952 H Ф Четверухин