НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД

НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов
выражений, вид к-рых заранее известен. Так, напр., на основании теоретич.
соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С - коэффициенты,
подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая
слева члены с одинаковыми степенями х, получают: (A+B+C)x²
+(B-C)x-A=3x²-1

T. к. последнее равенство должно выполняться
для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х
справа
и слева должны быть одинаковыми. Т.о., получаются три уравнения для определения
трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, B-C=O,
A = 1,
откуда
A=B=C
= 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко
проверить непосредственно.

Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где A, B, C и D- неизвестные
рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося,
где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные
члены в левой части, получаем:

Но такое равенство возможно лишь в
случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты
при одинаковых радикалах. T. о., получаются четыре уравнения для нахождения
неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2В + 3C = 1, -А+В+3D=1,
А+С-2D = -1, В-С+D=0, откуда А = О, В = -¹/С = 0, D = 1/2, т. е.

B приведенных примерах успех H. к.
м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты к-рых отыскивались.
Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили
бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А -2B +
3C = 1, -А-В=1, А+С=-1, В-C=0, к-рым нельзя удовлетворить
никаким выбором чисел А, В и С. Особенно важны применения H. к.
м. к задачам, в к-рых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним
относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального
уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, напр., нужно найти решение
дифференциального уравнения у" + ху = О такое, что у = 0
и у' = 1 при х = О. Из теории дифференциальных уравнений
следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

y =x + C2
+ C3 + C4 + C5
+···.

Подставляя это выражение вместо у
в
правую часть уравнения, а вместо у" - выражение

2с+ 4 · 3c2 + 5 · 4c3 +·
· · ,

затем умножая на x и соединяя члены
с одинаковыми степенями х, получают

2с+ ( 1 + 4 · 3c2 +(c3+...=0

откуда при определении неизвестных
коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2с= О; 3·2с4с

Решая последовательно эти уравнения,
находят:

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей
математики, т. 1, 23 изд., M., 1974; т. 2, 20 изд., M., 1967; Степанов
В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., M., 1959.