Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ в
математической статистике, методы непосредственной оценки теоретич. распределения
вероятностей и тех или иных его общих свойств (симметрии и T-. п.) по результатам
наблюдений. Название H. м. подчёркивает их отличие от классических (параметрических)
методов, в к-рых предполагается, что неизвестное теоретич. распределение
принадлежит к.-л. семейству, зависящему от конечного числа параметров (напр.,
семейству нормальных распределений), и к-рые позволяют по результатам
наблюдений оценивать неизвестные значения этих параметров и проверять те
или иные гипотезы относительно их значений. Разработка H. м. является в
значительной степени заслугой сов. учёных.

В качестве примера H. м. можно привести
найденный A. H. Колмогоровым способ проверки согласованности теоретических
и эмпирических распределений (т. н. критерий Колмогорова). Пусть результаты
n
независимых
наблюдений некоторой величины имеют функцию распределения
F(X)
и
пусть Fn(x) обозначает эмпирическую функцию распределения (см. Вариационный
ряд), построенную по этим n наблюдениям, a D- наибольшее по абсолютной величине значение разности
Fn(x) - F(X).
Случайная
величина SQR(n)xDимеет в случае непрерывности
F(X)
функцию распределения K),
не
зависящую от F(X) н стремящуюся при безграничном возрастании
n
к
пределу

Отсюда при достаточно больших n, для
вероятности pSQR(n)xD= получается
приближённое выражение

Функция К()
табулирована.
Её значения для нек-рых приведены
в табл.

Таблица функции К()

	0,57	0,71	0,83	1,02	1,36	1,63
К()	0,10	0,30	0,50	0,75	0,95	0,99

Равенство (*) следующим образом используется
для проверки гипотезы о том, что наблюдаемая случайная величина имеет функцию
распределения F(X): сначала по результатам наблюдений находят значение
величины Dа затем по формуле (*) вычисляют вероятность
получения отклонения Fот F, большего или равного
наблюдённому. Если указанная вероятность достаточно мала, то в соответствии
с общими принципами проверки статистич. гипотез (см. Статистическая
проверка гипотез) проверяемую гипотезу отвергают. В противном случае
считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично
проверяется гипотеза о том, получены ли две независимые выборки, объёма
n1
и
n2
соответственно, из одной и той же генеральной совокупности с непрерывным
законом распределения. При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что
вероятность неравенства

как это было установлено H. В. Смирновым,
имеет
пределом К(), здесь Dесть
наибольшее по абсолютной величине значение разности F- F

Другим примером H. м. могут служить
методы проверки гипотезы о том, что теоретич. распределение принадлежит
к семейству нормальных распределений. Отметим здесь лишь один из этих методов
- т. н. метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем
замечании. Если случайная величина X имеет нормальное распределение
с параметрами и,
то

где Ф^-1 - функция, обратная
нормальной:

T. о., график функции у = Ф-¹[F(х)]
будет
в этом случае прямой линией, а график функции у = Ф-¹[F- ломаной линией, близкой к этой прямой (см. рис.). Степень близости
и служит критерием для проверки гипотезы нормальности распределения F(X).

Лит. Смирнов H. В., Дунин-Барковский
И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических
приложений, 3 изд., M , 1969; Большев Л. H., Смирнов H В., Таблицы математической
статистики, M , 1968. Ю. В. Прохоров.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я