НЕПРЕРЫВНОСТЬ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ одно из важнейших
матем. понятий, встречающееся в двух основных концепциях - H. множества
и H. отображения. Исторически раньше подверглось матем. обработке понятие
непрерывного отображения, или непрерывной функции, чем логически
предшествующее ему понятие "Н. множества". Понятие непрерывной действительной
функции обобщается на произвольные отображения так: однозначное отображение
у = f(x) нек-рого множества X элементов x на множество
Y элементов у наз. непрерывным, если из сходимости последовательности
x. . ., x... элементов множества X к элементу x
следует
сходимость их образов f(x к
образу f(x) предельного элемента x
(о других обобщениях того
же понятия см. в ст. Топология). T. о., определение H. отображения
зависит от того, как в самих множествах X и У определены предельные соотношения
(в нашем случае сходимость последовательностей). Множество элементов с
определёнными предельными соотношениями между ними наз. в совр. математике
топологическим
пространством. В терминах теории топологич. пространств в настоящее
время обычно и излагаются понятия, характеризующие свойства H. различных
множеств матем. объектов. Об этих понятиях см. в ст. Континуум. Лит.:
Д
е д е к и н д Р., Непрерывность и иррациональные числа, пер. с нем., 4
изд., Одесса, 1923; Кантор Г., Основы общего учения о многообразиях, [пер.
с нем.], в кн.: Теория ассамблей. 1, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике,
сб. 6); Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; Хаусдорф
Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Л., 1937; Александров П. С., Введение
в общую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948.